Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Пример 3 Найти разложение в ряд Фурье для пилообразной функции, определенной в интервале [−π, π] и имеющей период 2π.
Решение. Определим коэффициенты Фурье для пилообразной волны.
Поскольку функция нечетная (рисунок 2), то a0 = an = 0.

     
Для вычисления последнего интеграла используем формулу интегрирования по частям:
     
Пусть . Тогда , и интеграл будет равен
     
Подставляя и для всех натуральных значений n, получаем
     
Следовательно, разложение в ряд Фурье прилообразной волны имеет вид (рисунок 2 выше)

     

  Пример 4 Предположим, что f (x) является периодической функцией с периодом 2π. Пусть для . Найти разложение Фурье для заданной параболической функции.


Решение.
Так как функция четная, то коэффициенты bn = 0. Тогда
     
Применим дважды интегрирование по частям.
     
Поскольку и для натуральных n, то получаем
     
Тогда разложение параболической функции в ряд Фурье имеет вид (рисунок 3)
     
Рис.3, n = 2, n = 5
Рис.4, n = 1, n = 2

 

Пример 5 Найти ряд Фурье для треугольной волны

     
определенной в интервале [−π, π].

Решение.
Постоянная a0 равна
     
Вычислим коэффициенты an:
     
Интегрируя по частям, можно записать
     
Тогда
     
Значения sin nx при x = 0 или x = ± π равны нулю. Поэтому
     
Если n = 2k, то . Если n = 2k + 1, то
Так как функция f (x) четная, то коэффициенты Фурье bn равны нулю. Таким образом, окончательное разложение треугольной волны в ряд Фурье выглядит следующим образом (см. рис.4 выше):

     

Пример 6 Найти разложение в ряд Фурье для функции

     
заданной в интервале [−π, π].

Решение.
Найдем сначала a0:
     
Далее вычислим коэффициенты an:
     
Заметим, что
     
Поскольку cos (n − 1)π = (−1)n −1, то для коэффициентов an получаем выражение
     
Видно, что an = 0 для нечетных n. Для четных n, когда n = 2k (k = 1,2,3,...), мы имеем
     
Вычислим теперь коэффициенты bn. Начнем с b1:
     
Остальные коэффициенты bn при n > 1 равны нулю. Действительно,
     
Таким образом, формула разложения заданной функции в ряд Фурье имеет вид
     
График функции и варианты разложения для n = 2 и n = 8 показаны на рисунке 5.
Рис.5, n = 2, n = 8
Рис.6, n = 10

 

Пример 7 Найти ряд Фурье для функции

     
определенной в интервале [−π, π].

Решение.
     
Вычислим коэффициенты an:
     
(Этот результат очевиден, поскольку заданная функция − нечетная.)

Определим коэффициенты разложения bn:
     
Таким образом, разложение в ряд Фурье определяется формулой
     
На рисунке 6 (выше) представлен график исходной прямоугольной функции и ее Фурье аппроксимации при n = 10.

Интегралом от функции комплексного переменного называется предел последовательности интегральных сумм; функция при этом определена на некоторой кривой l, кривая предполагается гладкой или кусочно-гладкой:

image104 (527 bytes)
где image105 (86 bytes)  - точка, произвольно выбранная на дуге  image111 (99 bytes) разбиения кривой,
image112 (101 bytes) -  приращение аргумента функции на этом участке разбиения,
image106 (240 bytes) -  шаг разбиения,
image113 (131 bytes)- длина хорды, соединяющей концы дуги image111 (99 bytes),
кривая l разбивается произвольным образом на n частей image111 (99 bytes), k=1,2...n.


Решение задач на исследование функции Математический анализ