Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Пример 3 Используя комплексную форму записи, найти ряд Фурье для функции


Решение.
Применим формулы
     
В результате функция принимает вид
     
Разложим последнее выражение на сумму простых рациональных дробей.
     
Определим коэффициенты A,B:
     
В результате функцию f (x) можно записать в виде
     
При этом
     
И такой же результат справедлив для сопряженного выражения:
     
Представляя дроби в виде степенных рядов, получаем
     
Таким образом, разложение функции f (x) в ряд Фурье имеет вид
     
Поскольку , то окончательный ответ будет

     

   Определение ряда Фурье и типичные примеры

Идея о том, что любая периодическая функция может быть представлена в виде ряда гармонически связанных синусов и косинусов была предложена бароном Жан Батистом Жозефом Фурье (1768 − 1830).


Чтобы рассмотреть эту идею более детально, введем базовые определения.

Определение ряда Фурье
Говорят, что функция f (x) имеет период P, если f (x + P) = f (x) для всех значений x. Пусть период функции f (x) равен 2π. В этом случае достаточно рассмотреть поведение функции в интервале [−π, π].
  1. Предположим, что функция f (x) с периодом 2π абсолютно интегрируема в интервале [−π, π]. При этом является конечным так называемый интеграл Дирихле:
  2. Предположим также, что функция f (x) является однозначной, кусочно-непрерывной (то есть имеет конечное число точек разрыва) и кусочно-монотонной (имеет конечное число максимумов и минимумов).
Если условия 1 и 2 выполнены, то ряд Фурье для функции f (x) существует и сходится к данной функции

Если x0 − точка разрыва, то ряд Фурье сходится к значению
Ряд Фурье функции f (x) представляется в виде
где коэффициенты Фурье a0, an и bn определяются формулами
Иногда используются альтернативные формы записи для разложения в ряд Фурье. Заменяя an и bn новыми переменными dn и φn или dn и θn , где
можно, соответственно, записать
Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
Разложение в ряд Фурье четной функции f (x) с периодом 2π не содержит синусов и имеет вид
где коэффициенты Фурье определяются выражениями
Аналогично, разложение в ряд Фурье нечетной функции f (x), имеющей период 2π содержит только синусы и имеет вид
где ы bn равны

Ниже мы рассмотрим некоторые типичные примеры разложения функций с периодом 2π в ряд Фурье, предполагая, что такие разложения существуют и сходятся к заданной функции.

Пример 1 Пусть функция f (x) имеет период 2π и раскладывается в ряд Фурье:

     
Вычислить коэффициенты a0, an и bn.

Решение.
Чтобы найти an, проинтегрируем ряд Фурье в интервале [−π, π]:
     
Для всех n > 0 справедливо
     
Поэтому, все члены в разложении Фурье справа от знака суммы равны нулю, что приводит к соотношению
     
Чтобы определить коэффициенты an при m > 0, умножим обе части разложения в ряд Фурье на cos mx и проинтегрируем почленно:
     
Первое слагаемое в правой части равно нулю. Тогда, используя тригонометрические тождества, можно записать
     
если m ≠ n.

В случае, если m = n, получаем
     
Таким образом,
     
Аналогично, умножая ряд Фурье на sin mx и интегрируя почленно, получим выражение для bm:
     
Переписывая формулы для an, bn, запишем окончательные выражения для коэффициентов Фурье:
     

   Пример 2 Найти разложение в ряд Фурье прямоугольной функции с периодом 2π, определенной в интервале [−π, π]:

     

Решение.
Вычислим сначала a0:
     
Определим теперь коэффициенты Фурье при n ≠ 0:
     
Поскольку , то можно записать
     
Таким образом, разложение в ряд Фурье для прямоугольной функции имеет вид
     
Можно легко вычислить несколько первых членов разложения. Полагая, например, n = 5, получаем
     
На рисунке 1 представлены график данной функции и ее аппроксимация рядом Фурье при n = 10.
Рис.1, n = 10
Рис.2, n = 5, n = 10

Интегралом от функции комплексного переменного называется предел последовательности интегральных сумм; функция при этом определена на некоторой кривой l, кривая предполагается гладкой или кусочно-гладкой:

image104 (527 bytes)
где image105 (86 bytes)  - точка, произвольно выбранная на дуге  image111 (99 bytes) разбиения кривой,
image112 (101 bytes) -  приращение аргумента функции на этом участке разбиения,
image106 (240 bytes) -  шаг разбиения,
image113 (131 bytes)- длина хорды, соединяющей концы дуги image111 (99 bytes),
кривая l разбивается произвольным образом на n частей image111 (99 bytes), k=1,2...n.


Решение задач на исследование функции Математический анализ