Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Пример 3 Используя комплексную форму записи, найти ряд Фурье для функции


Решение.
Применим формулы
     
В результате функция принимает вид
     
Разложим последнее выражение на сумму простых рациональных дробей.
     
Определим коэффициенты A,B:
     
В результате функцию f (x) можно записать в виде
     
При этом
     
И такой же результат справедлив для сопряженного выражения:
     
Представляя дроби в виде степенных рядов, получаем
     
Таким образом, разложение функции f (x) в ряд Фурье имеет вид
     
Поскольку , то окончательный ответ будет

     

   Определение ряда Фурье и типичные примеры

Идея о том, что любая периодическая функция может быть представлена в виде ряда гармонически связанных синусов и косинусов была предложена бароном Жан Батистом Жозефом Фурье (1768 − 1830).


Чтобы рассмотреть эту идею более детально, введем базовые определения.

Определение ряда Фурье
Говорят, что функция f (x) имеет период P, если f (x + P) = f (x) для всех значений x. Пусть период функции f (x) равен 2π. В этом случае достаточно рассмотреть поведение функции в интервале [−π, π].
  1. Предположим, что функция f (x) с периодом 2π абсолютно интегрируема в интервале [−π, π]. При этом является конечным так называемый интеграл Дирихле:
  2. Предположим также, что функция f (x) является однозначной, кусочно-непрерывной (то есть имеет конечное число точек разрыва) и кусочно-монотонной (имеет конечное число максимумов и минимумов).
Если условия 1 и 2 выполнены, то ряд Фурье для функции f (x) существует и сходится к данной функции

Если x0 − точка разрыва, то ряд Фурье сходится к значению
Ряд Фурье функции f (x) представляется в виде
где коэффициенты Фурье a0, an и bn определяются формулами
Иногда используются альтернативные формы записи для разложения в ряд Фурье. Заменяя an и bn новыми переменными dn и φn или dn и θn , где
можно, соответственно, записать
Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
Разложение в ряд Фурье четной функции f (x) с периодом 2π не содержит синусов и имеет вид
где коэффициенты Фурье определяются выражениями
Аналогично, разложение в ряд Фурье нечетной функции f (x), имеющей период 2π содержит только синусы и имеет вид
где ы bn равны

Ниже мы рассмотрим некоторые типичные примеры разложения функций с периодом 2π в ряд Фурье, предполагая, что такие разложения существуют и сходятся к заданной функции.

Пример 1 Пусть функция f (x) имеет период 2π и раскладывается в ряд Фурье:

     
Вычислить коэффициенты a0, an и bn.

Решение.
Чтобы найти an, проинтегрируем ряд Фурье в интервале [−π, π]:
     
Для всех n > 0 справедливо
     
Поэтому, все члены в разложении Фурье справа от знака суммы равны нулю, что приводит к соотношению
     
Чтобы определить коэффициенты an при m > 0, умножим обе части разложения в ряд Фурье на cos mx и проинтегрируем почленно:
     
Первое слагаемое в правой части равно нулю. Тогда, используя тригонометрические тождества, можно записать
     
если m ≠ n.

В случае, если m = n, получаем
     
Таким образом,
     
Аналогично, умножая ряд Фурье на sin mx и интегрируя почленно, получим выражение для bm:
     
Переписывая формулы для an, bn, запишем окончательные выражения для коэффициентов Фурье:
     

   Пример 2 Найти разложение в ряд Фурье прямоугольной функции с периодом 2π, определенной в интервале [−π, π]:

     

Решение.
Вычислим сначала a0:
     
Определим теперь коэффициенты Фурье при n ≠ 0:
     
Поскольку , то можно записать
     
Таким образом, разложение в ряд Фурье для прямоугольной функции имеет вид
     
Можно легко вычислить несколько первых членов разложения. Полагая, например, n = 5, получаем
     
На рисунке 1 представлены график данной функции и ее аппроксимация рядом Фурье при n = 10.
Рис.1, n = 10
Рис.2, n = 5, n = 10

Интегралом от функции комплексного переменного называется предел последовательности интегральных сумм; функция при этом определена на некоторой кривой l, кривая предполагается гладкой или кусочно-гладкой:

image104 (527 bytes)
где image105 (86 bytes)  - точка, произвольно выбранная на дуге  image111 (99 bytes) разбиения кривой,
image112 (101 bytes) -  приращение аргумента функции на этом участке разбиения,
image106 (240 bytes) -  шаг разбиения,
image113 (131 bytes)- длина хорды, соединяющей концы дуги image111 (99 bytes),
кривая l разбивается произвольным образом на n частей image111 (99 bytes), k=1,2...n.


Решение задач на исследование функции Математический анализ