Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Сходимость рядов. Признаки сравнения

Необходимый признак сходимости, вообще говоря, не гарантирует сходимости ряда. Сходимость или расходимость ряда устанавливается с помощью достаточных признаков. Признаки сравнения, которые мы рассмотрим ниже, как раз и представляют собой достаточные признаки сходимости или расходимости рядов.

Признаки сравнения рядов
Даны два ряда и − такие, что для всех n. Тогда справедливы следующие признаки:
  • Если сходится, то также сходится;
  • Если расходится, то также расходится.
  • Предельные признаки сравнения рядов
    Пусть даны два ряда и , у которых члены an и bn положительны для всех n. Тогда справедливы следующие предельные признаки:
    Так называемый обобщенный гармонический ряд сходится при p > 1 и расходится при 0 < p ≤ 1

    .

      Пример 1 Определить, сходится или расходится ряд .

    Решение.
    Легко видеть, что для n > 1. Применяя далее признак сравнения, находим
         
    Поскольку ряд сходится как обобщенный гармонический ряд с показателем степени p = 2

    , то исходный ряд также сходится.

      Пример 2 Определить, сходится или расходится ряд .

    Решение.
    Воспользуемся признаком сравнения. Заметим, что для всех натуральных n. Ряд является обобщенным гармоническим рядом с p = 2 > 1

    и, следовательно, сходится.

    Таким образом, исходный ряд сходится по признаку сравнения.

    Пример 3 Исследовать сходимость ряда .

    Решение.
    Можно заметить, что для всех натуральных n. Тогда
         
    Поскольку − гармонический ряд, то он расходится. Следовательно, исходный ряд также расходится по признаку сравнения.

    Пример 4 Определить, сходится или расходится ряд .

    Решение.
    Воспользуемся предельным признаком сравнения. Будем сравнивать заданный ряд со сходящимся обобщенным гармоническим рядом . Тогда
         
    Разделим числитель и знаменатель на n3:
         
    Следовательно, данный ряд сходится в соответствии с предельным признаком сравнения.

      Пример 5 Исследовать ряд на сходимость.

    Решение.
    Будем сравнивать наш ряд со сходящимся рядом . Получаем
         

    Следовательно данный ряд сходится согласно предельному признаку сравнения.

       Пример 6 Исследовать ряд на сходимость.

    Решение.
    Применяем предельный признак сравнения. Сравним с расходящимся гармоническим рядом . Вычислим предел отношения соответствующих членов обоих рядов:
         
    Таким образом, исходный ряд расходится.

    Пример 7 Определить, сходится или расходится ряд

         
    Решение.
    Используем предельный признак сравнения. Будем сравнивать со сходящимся обобщенным гармоническим рядом . Находим значение предела:
         

    Следовательно, ряд сходится.

    Комплексная форма рядов Фурье

    Пусть функция f (x) определена в интервале [−π, π]. Применяя формулы Эйлера

    можно записать ряд Фурье данной функции в комплексной форме:
    Мы использовали здесь следующие обозначения:
    Коэффициенты cn называются комплексными коэффициентами Фурье. Они определяются формулами
    Если нужно построить продолжение функции f (x), имеюшей произвольный период 2L, то соответствующее выражение в комплексной форме имеет вид:
    где

    Комплексная форма ряда Фурье алгебраически проще и более симметрична. Поэтому, она часто используется в физике и прикладных расчетах.

    Пример 1 Используя комплексную форму записи, найти разложение в ряд Фурье функции

         

    Решение.
    Вычислим коэффициенты c0 и cn (при n ≠ 0):
         
    Если n = 2k, то .
    Если n = 2k − 1, то .
    Следовательно, разложение в ряд Фурье в комплексной форме имеет вид:
         
    Данный ряд можно преобразовать и записать в действительных переменных. Обозначим: . Тогда
         
    График функции и ее ряд Фурье при n = 5 и n = 50 показаны на рисунке 1.
    Рис.1, n = 5, n = 50
    Рис.2, n = 2, n = 5

     

    Пример 2 Найти разложение в ряд Фурье в комплексной форме для функции , заданной в интервале [−1, 1].


    Решение.
    Здесь полупериод равен L = 1. Поэтому c0 равен
         
    Для n ≠ 0 получаем
         
    Дважды интегрируя по частям, находим
         
    Подставляя sin nπ = 0 и cos nπ = (−1)n, получаем компактное выражение для коэффициентов cn:
         
    Таким образом, разложение в ряд Фурье в комплексной форме имеет вид
         
    Учитывая, что , можно окончательно записать
         

    График данной функции и ее аппроксимации Фурье приведены ни рисунке 2 (выше).

    Интегралом от функции комплексного переменного называется предел последовательности интегральных сумм; функция при этом определена на некоторой кривой l, кривая предполагается гладкой или кусочно-гладкой:

    image104 (527 bytes)
    где image105 (86 bytes)  - точка, произвольно выбранная на дуге  image111 (99 bytes) разбиения кривой,
    image112 (101 bytes) -  приращение аргумента функции на этом участке разбиения,
    image106 (240 bytes) -  шаг разбиения,
    image113 (131 bytes)- длина хорды, соединяющей концы дуги image111 (99 bytes),
    кривая l разбивается произвольным образом на n частей image111 (99 bytes), k=1,2...n.


    Решение задач на исследование функции Математический анализ