Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов Фурье

Теория рядов Фурье первоначально была создана для решения дифференциальных уравнений. Поэтому, неудивительно, что ряды Фурье широко используются для поиска решений как обыкновенных дифференциальных уравнений, так и уравнений в частных производных.

В настоящем разделе мы расмотрим приложение рядов Фурье к решению некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений, а также к решению трех наиболее популярных типов уравнений математической физики:

Пример 1

 

Найти решение в виде ряда Фурье дифференциального уравнения с граничными условиями .


Решение.
Мы будем использовать разложение по нечетным гармоникам для построения неоднородного решения уравнения с заданными граничными условиями. Опираясь на результаты примера 3 раздела Определение ряда Фурье и типичные примеры, можно записать правую часть уравнения в виде ряда
     
Предположим, что решение уравнения имеет вид
     
Подставляя это в само уравнение, получаем соотношение
     
Поскольку коэффициенты при каждой гармонике в левой и правой части должны быть равны друг другу, получаем алгебраическое уравнение
     
Следовательно, решение исходного дифференциального уравнения описывается рядом
     

  Пример 2 Найти периодические решения дифференциального уравнения , где k − константа, а f (x) − периодическая функция.


Решение.
Представим функцию f (x) в правой части уравнения в виде ряда Фурье:
     
Здесь комплексные коэффициенты Фурье определяются формулой
     
Предполагая, что решение уравнения представляется рядом Фурье
     
найдем выражение для производной:
     
Подставляя это в исходное дифференциальное уравнение, получаем
     
Поскольку данное равенство справедливо при всех значениях n, то получаем следующее соотношение:
     
Здесь cn и k − известные числа. Следовательно, решение выражается формулой

     

 

Пример 3 Используя разложение в ряд Фурье, решить одномерное уравнение теплопроводности

     
с граничными условиями Дирихле: Т = Т1 при x = 0, и Т = Т2 при x = L. Начальное распределение температуры задано функцией .

Решение.
Сначала мы определим стационарное распределение температуры при заданных граничных условиях.
Рассмотрим уравнение . Интегрируя его, найдем общее решение:
     
Коэффициенты C1 и C2 найдем из граничных условий: Т0 (0) = Т1, Т0 (L) = Т2. В результате получаем
     
Построим теперь решение задачи, зависящее от времени .
Введем новую переменную
     
Граничные условия для y (x,t) принимают вид:
     
а начальное распределение записывается в форме
     
Принимая во внимание новые граничные условия, будет естественным искать решение в виде разложения по нечетным гармоникам. Тогда
     
где коэффициенты bn находятся по формуле
     
(Мы предполагаем, что эти коэффициенты известны.)

Общее решение будем искать в виде ряда с коэффициентами cn (t), зависящими от времени:
     
Очевидно, что граничные условия y (0,t) = 0 и y (L,t) = 0 выполняются при любых значениях времени t > 0.
Начальные условия для cn (t) имеют вид
     
Подставим эти выражения в уравнение теплопроводности . Тогда
     
Умножим обе части последнего выражения на и проинтегрируем на интервале [0, L], используя соотношения ортогональности
     
В результате получаем
     
или
     
Решая полученное обыкновенное дифференциальное уравнение, находим cn (t):
     
где − постоянная, зависящая от начальных условий.
Учитывая, что cn (0) = bn, получаем решение для cn (t) в форме
     
Следовательно, окончательное решение уравнения теплопроводности выражается формулой
     

Пример 4 Найти решение волнового уравнения

     
для струны с закрепленными концами с граничными условиями u (0,t) = u (L,t) = 0. Начальное смещение и скорость заданы в виде
     
где f (x) и g (x) − некоторые функции, которые считаются известными в данной задаче. При этом должны быть выполнены соотношения
     

Решение.
Будем искать все периодические решения задачи, в которых разделяются переменные x и t, т.е. в форме
     
Тогда
     
Подставляя это в волновое уравнение, получаем
     
В последней записи функция в левой части зависит только от x, а функция в правой части − только от t. Это возможно, если только обе части уравнения равны некоторой константе. Следовательно,
     
Если константа α положительная, то полагая , получим уравнение
     
с общим решением
     
Такое решение не содержит периодических функций по t. Поэтому рассмотрим вариант, когда константа α отрицательна: . В этом случае волновое уравнение расщепляется на два обыкновенных дифференциальных уравнения:
     
Решая первое уравнение, находим
     
где C1 и C2 − постоянные интегрирования.
Учитывая граничные условия, получаем
     
Тогда
     
Полагая C2 ≠ 0 (в противном случае мы бы получили тривиальное решение X ≡ 0), находим, что (n − целое число).

Следовательно, так называемые собственные значения равны
     
Соответствующие им собственные функции записываются в виде
     
При λ = λn второе уравнение имеет решение
     
Таким образом, можно записать, что
     
Здесь n − целое число, а An и Bn − постоянные, зависящие от начальных условий.

Теперь мы можем построить общее решение волнового уравнения как линейную комбинацию частных решений:
     
Предполагая, что этот ряд дифференцируемый, запишем выражение для производной:
     
Теперь из начальных условий определим постоянные An и Bn:
     
Видно, что функции f (x) и f (x) следует разложить по ортогональной системе . По формулам для коэффициентов Фурье получаем
     
Таким образом, решение волнового уравнения с заданными граничными и начальными условиями имеет вид
     
где коэффициенты An и Bn определяются приведенными выше формулами.

Первый член ряда u1(x,t) называется основной частотой , остальные члены un(x,t) − обертонами или гармониками . Период и частота гармоники определяются формулами
     

   Пример 5 Найти решение уравнения Лапласа

     
в круге c граничным условием
     

Решение.
Будем искать решение в полярных координатах (r,φ). Взаимосвязь между декартовыми и полярными координатами определяется стандартными формулами (рисунок 1):
     
Рис.1
Решением задачи будет функция u(r,φ), зависящая от переменных r и φ. Очевидно, u(r,φ) является 2π-периодической функцией по φ. При этом граничная функция f (x,y) преобразуется в функцию f (φ), зависящую только от переменной φ.

Уравнение Лапласа в полярных координатах записывается в виде
     
Будем искать решение u(r,φ) в виде ряда Фурье
     
где коэффициенты Фурье an (r) и bn (r) зависят от радиуса r.

Предполагая, что функция u(r,φ) является достаточно гладкой и допускает двойное дифференцирование по r и φ, получаем следующие выражения для производных:
     
Подставляя это в уравнение Лапласа, находим
     
Поскольку это выражение равно нулю при всех r и φ, то приходим к выводу, что
     
Таким образом, мы получили систему обыкновенных дифференциальных уравнений вместо исходного уравнения в частных производных (этот метод был предложен Жозефом Фурье в 1822). Важно, что каждое уравнение в системе решается независимо.

Убедимся, что полученным уравнениям удовлетворяют функции вида
     
Здесь постоянные an (1) и bn (1) находятся из начальных условий к полученным обыкновенным дифференциальным уравнениям. Чтобы сформулировать эти начальные условия, разложим в ряд Фурье функцию , определяющую граничные условия для уравнения Лапласа в полярных координатах. В результате находим
     
Приравнивая коэффициенты слева и справа при членах cos nφ и sin nφ, получаем соотношения
     
Следовательно, система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет решение
     
Тогда решение уравнения Лапласа записывается в виде
     
где αn, βn − известные числа, зависящие от граничных условий.

Полученный ответ можно упростить. Подставим явные выражения для коэффициентов αn, βn:
     
Заметим, что
     
Поэтому
     
Используя формулу , можно показать, что выражение в квадратных скобках равно сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
     
Тогда решение будет определяться формулой
     

Полученное выражение называется интегралом Пуассона для единичного круга.

Интегралом от функции комплексного переменного называется предел последовательности интегральных сумм; функция при этом определена на некоторой кривой l, кривая предполагается гладкой или кусочно-гладкой:

image104 (527 bytes)
где image105 (86 bytes)  - точка, произвольно выбранная на дуге  image111 (99 bytes) разбиения кривой,
image112 (101 bytes) -  приращение аргумента функции на этом участке разбиения,
image106 (240 bytes) -  шаг разбиения,
image113 (131 bytes)- длина хорды, соединяющей концы дуги image111 (99 bytes),
кривая l разбивается произвольным образом на n частей image111 (99 bytes), k=1,2...n.


Решение задач на исследование функции Математический анализ