Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным . Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд , то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки.

Признак Лейбница
Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница .
Пусть {an} является числовой последовательностью, такой, что
1. an+1 < an для всех n;

2. .
Тогда знакочередующиеся ряды и сходятся.
Абсолютная и условная сходимость

Ряд называется абсолютно сходящимся , если ряд также сходится.
Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.
Ряд называется условно сходящимся , если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Пример 1 Исследовать на сходимость ряд .

Решение.
Применим достаточный признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Получаем
     

поскольку . Следовательно, данный ряд сходится.

  Пример 2 Исследовать на сходимость ряд .

Решение.
Попробуем применить признак Лейбница:
     
Видно, что модуль общего члена не стремится к нулю при n → ∞

Поэтому данный ряд расходится.

Пример 3 Определить, является ли ряд абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся?

Решение.
Применяя признак Даламбера к ряду, составленному из модулей соответствущих членов, находим
     

Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.

   Пример 4 Определить, является ли ряд абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся?

Решение.
Сначала воспользуемся признаком Лейбница и найдем предел . Вычислим этот предел по правилу Лопиталя:
     

Таким образом, исходный ряд расходится.

 

Пример 5 Исследовать на сходимость ряд

     
Решение.
Общий член данного ряда равен . Применим признак Даламбера к ряду , составленному из модулей:
     
Следовательно. исходный ряд сходится абсолютно.

   Пример 6 Исследовать, является ли ряд абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся?

Решение.
Применяя признак Лейбница, видим, что ряд является сходящимся:
     
Рассмотрим теперь сходимость ряда , составленного из модулей соответствующих членов. Используя интегральный признак сходимости, получаем
     
Следовательно исходный ряд сходится условно.

  Пример 7 Определить, является ли ряд абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся?

Решение.
Сначала применим признак Лейбница:
     
Следовательно, данный ряд сходится. Выясним, является ли эта сходимость абсолютной или условной. Воспользуемся предельным признаком сравнения и сравним соответствующий ряд из модулей с расходящимся гармоническим рядом :
     
Поскольку ряд , составленный из модулей, расходится, то исходный знакочередующийся ряд является условно сходящимся.

Интегралом от функции комплексного переменного называется предел последовательности интегральных сумм; функция при этом определена на некоторой кривой l, кривая предполагается гладкой или кусочно-гладкой:

image104 (527 bytes)
где image105 (86 bytes)  - точка, произвольно выбранная на дуге  image111 (99 bytes) разбиения кривой,
image112 (101 bytes) -  приращение аргумента функции на этом участке разбиения,
image106 (240 bytes) -  шаг разбиения,
image113 (131 bytes)- длина хорды, соединяющей концы дуги image111 (99 bytes),
кривая l разбивается произвольным образом на n частей image111 (99 bytes), k=1,2...n.


Решение задач на исследование функции Математический анализ