Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Свойства пределов

Обозначение предела
Предел функции обозначается как или через символ предела: .

Всюду ниже предполагается, что пределы функций существуют.

Предел суммы
Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:
Расширенное правило суммы
Предел постоянной величины
Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:
Предел произведения функции на постоянную величину
Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:
Предел произведения
Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций (при условии, что последние существуют):
Расширенное правило произведения
Предел частного
Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:
Предел степенной функции
где степень p - действительное число. В частности,
Если f ( x ) = x, то
Предел показательной функции
где основание a > 0.

Предел логарифмической функции
где основание a > 0.

Теорема "о двух милиционерах"
Предположим, что для всех x близких к a, за исключением, быть может, самой точки x = a. Тогда, если
то
То есть функция f (x) остается "зажатой" между двумя другими функциями, стремящимися к одному и тому же пределу L.

Пример 1 Найти предел .


Решение.
     

Пример 2 Найти предел .


Решение.
Используя основные свойства пределов (правило суммы, правило частного и предел степенной функции), получаем
     

Пример 3 Зная, что и , вычислить предел .


Решение.
     

Пример 4 Вычислить предел .


Решение.
Известно, что для всех x. Тогда можно записать
     
Разделив это неравенство на 2x − 7 > 0, получаем
     
(Поскольку мы рассматриваем большие и положительные значения x, и, следовательно, 2x − 7 > 0, то знаки неравенства при делении не изменяются.) Выполняя предельный переход, получаем
     
Вычислим левый и правый пределы:
     
Отсюда, по теореме о "двух милиционерах" следует, что
     

   Пример 5 Вычислить предел .


Решение.
Известно, что для всех x. Тогда
     
Вычтем 5x из всех частей неравенства.
     
Разделив на , получаем
     
(Знаки неравенства при этом не меняются, поскольку является положительным числом при .)
Вычислим левый и правый пределы.
     
Как видно, оба предела равны друг другу. Следовательно, по теореме "o двух милиционерах"

     

Тригонометрические пределы

Основной тригонометрический предел (первый замечательный предел) имеет вид

Используя данный предел, можно получить ряд других тригонометрических пределов:
     
Здесь и далее предполагается, что углы измеряются в радианах.

  Пример 1 Вычислить предел .


Решение.
     
Так как , то

     

Пример 2 Вычислить предел .


Решение.
Преобразуем числитель в произведение:
     
В результате получаем
     

Пример 3 Вычислить предел .


Решение.
Используем следующее тригонометрическое тождество:
     
Получаем
     
Поскольку cos 4x является непрерывной функцией при x = 0, то
     

   Пример 4 Вычислить предел .


Решение.
Используя формулу
     
преобразуем данный предел следующим образом:
     
Здесь
sin (−a) является константой, не зависящей от x. Поэтому,
     

Пример 5 Вычислить предел .


Решение.
     
Очевидно, что Тогда
     

Пример 6 Найти предел .


Решение.
Используя формулу
     
преобразуем предел:
     
Заменим переменную: . Если , то Тогда
     

Пример 7 Найти предел .


Решение.
Выполним следующие преобразования:
     
Поскольку , то предел равен
     
Здесь
     
Следовательно,
     
Учитывая, что при , получаем окончательный ответ
     

Пример 8 Найти предел .


Решение.
Сделаем подстановку: . Если , то . Тогда
     

Пример 9 Найти предел .


Решение.
Используем тригонометрическую формулу
     
Тогда предел можно преобразовать следующим образом:
     
Здесь мы учли, что предел остается неизменным при замене предельного перехода на .

Пример 10 Найти предел .


Решение.
     
Используя тождество , получаем
     
Очевидно, что в последнем выражении предел равен 1 и при . В результате получаем ответ
     

Интегралом от функции комплексного переменного называется предел последовательности интегральных сумм; функция при этом определена на некоторой кривой l, кривая предполагается гладкой или кусочно-гладкой:

image104 (527 bytes)
где image105 (86 bytes)  - точка, произвольно выбранная на дуге  image111 (99 bytes) разбиения кривой,
image112 (101 bytes) -  приращение аргумента функции на этом участке разбиения,
image106 (240 bytes) -  шаг разбиения,
image113 (131 bytes)- длина хорды, соединяющей концы дуги image111 (99 bytes),
кривая l разбивается произвольным образом на n частей image111 (99 bytes), k=1,2...n.


Сварка полипропиленовых листов по материалам www.box-plastic.ru.
Решение задач на исследование функции Математический анализ