Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя представляет собой метод вычисления пределов, имеющих неопределенность
типа или .

Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности.


Это правило впервые упоминалось в книге по дифференциальному исчислению, опубликованной в 1696 (!) году французским математиком Гийомом Лопиталем (1661- 1704).
Правило Лопиталя можно также применять к неопределенностям типа . Первые две неопределенности можно свести к типу или с помощью алгебраических преобразований. А неопределенности сводятся к типу с помощью соотношения

Правило Лопиталя справедливо также и для односторонних пределов.

Пример 1 Вычислить предел .


Решение.
Дифференцируя числитель и знаменатель, находим значение предела:

     

Пример 2 Вычислить предел .


Решение.
Поскольку прямая подстановка приводит к неопределенности типа , применяем правило Лопиталя.
     

Пример 3 Вычислить предел .


Решение.
Здесь мы имеем дело с неопределенностью типа . После простых преобразований, получаем
     

Пример 4 Найти предел .


Решение.
Используя правило Лопиталя, можно записать
     

Пример 5 Найти предел .


Решение.
Здесь мы встречаемся с неопределенностью типа . Обозначим . После логарифмирования получаем
     
Далее, по правилу Лопиталя, находим
     
Соответственно,
     

Пример 6 Найти предел .


Решение.
Предел содержит неопределенность типа . Пусть . Тогда
     
По правилу Лопиталя получаем
     
Следовательно,
     

Пример 7 Вычислить предел .


Решение.
Обозначим . Возьмем логарифм от обеих частей:
     
Найдем предел ln y.
     
Тогда
     

   Пример 8 Вычислить предел .


Решение.
Мы имеем здесь неопределенность типа . Пусть . Тогда после логарифмирования получаем
     
Используем правило Лопиталя дважды:
     
Следовательно,
     

Пример 9 Найти предел .


Решение.
Подстановка приводит к неопределенности типа . Обозначим . Прологарифмируем обе части этого равенства.
     
Применяя правило Лопиталя, получаем
     
Потенцируя, получаем окончательный ответ:
     

Пример 10 Найти предел .


Решение.
Предел имеет неопределенность типа . Применяем правило Лопиталя n раз.
     

   Пример 11 Вычислить предел .


Решение.
В соответствии с правилом Лопиталя дифференцируем числитель и знаменатель данной дроби несколько раз, пока не исчезнет неопределенность.
     

Пример 12 Вычислить предел .


Решение.
Здесь мы имеем дело с неопределенностью типа . Пусть . Тогда
     
Предел равен
     
Как видно, после двукратного дифференцирования неопределенность еще не устранена. Поэтому дифференцируем числитель и знаменатель еще раз.
     
Отсюда находим
     

Число е

Число e выражается через предел следующим образом:

Это число является трансцендентным и приблизительно равно 2,718281828... (2.7, затем два раза год рождения Л.Н.Толстого). Выполнив подстановку , где , получим альтернативную формулу для данного предела:
Здесь мы имеем дело со степенными выражениями, когда и основание и степень стремятся к числу a (или к бесконечности). Во многих случаях такие пределы удобно вычислять, предварительно логарифмируя функцию под знаком предела.

Пример 1 Вычислить предел .


Решение.
     

Пример 2 Вычислить предел .


Решение.
Учитывая, что предел произведения нескольких функций равен произведению пределов от этих функций, получаем
     

Пример 3 Вычислить предел .


Решение.
Сделаем замену: , так что x = 6y и y → ∞, если x → ∞. В результате получаем
     

Пример 4 Вычислить предел .


Решение.

     

Пример 5 Вычислить предел .


Решение.
Сначала преобразуем основание функции:
     
Введем новую переменную: . Если , то и
     
В результате замены получаем
     

Пример 6 Вычислить предел .


Решение.
Предварительно преобразуем основание:
     
Пусть . Тогда
     
Теперь можно найти предел:
     

Пример 7 Вычислить предел .


Решение.
Преобразуем предел следующим образом:
     
Сделаем замену:
     
Здесь y → 0 когда x → ∞. Тогда предел равен
     

Пример 8 Найти предел .


Решение.
Пусть . Легко видеть, что при . Тогда
     
Сделаем еще одну замену:
     
Следовательно, предел равен:
     

Пример 9 Найти предел .


Решение.
Данный предел можно представить в следующей форме:
     
После взятия логарифма получаем
     
Заметим, что . Кроме того, при , поэтому предельный переход во втором пределе можно заменить на . Это приводит к следующему выражению:
     
Учитывая, что , получаем
     
Следовательно, .

Пример 10 Найти предел .


Решение.
Перепишем предел в следующем виде:
     
Прологарифмируем левую и правую части полученного выражения.
     
Видно, что . Тогда второй предел равен e. В результате получаем
     

Окончательный ответ: .

Интегралом от функции комплексного переменного называется предел последовательности интегральных сумм; функция при этом определена на некоторой кривой l, кривая предполагается гладкой или кусочно-гладкой:

image104 (527 bytes)
где image105 (86 bytes)  - точка, произвольно выбранная на дуге  image111 (99 bytes) разбиения кривой,
image112 (101 bytes) -  приращение аргумента функции на этом участке разбиения,
image106 (240 bytes) -  шаг разбиения,
image113 (131 bytes)- длина хорды, соединяющей концы дуги image111 (99 bytes),
кривая l разбивается произвольным образом на n частей image111 (99 bytes), k=1,2...n.


Решение задач на исследование функции Математический анализ