Информатика
Проектирование
Геометрия
Алгебра
Курсовой
Графика
Электротехника
Задачи

Сопромат

Лабораторные
Методика
Физика
Чертежи
Энергетика
Математика
Реактор
Агентство элитной недвижимости тут

Бесконечные последовательности

Функция f (n), определенная на множестве натуральных чисел, образует последовательность действительных чисел. Значения an = f (n), которые принимает эта функция, называются членами последовательности.

Множество значений an = f (n) обозначается как {an}.

Числовая последовательность {an} имеет предел L, если для каждого ε > 0 существует натуральное число N > 0, такое, что при всех n ≥ N выполняется неравенство . В этом случае мы записываем

Числовая последовательность {an} имеет предел ∞, если для любого положительного числа M существует натуральное число N > 0, такое, что для всех n ≥ N справедливо неравенство an > M. В этом случае используется обозначение
Если предел существует и L конечно, то говорят, что числовая последовательность сходится.
В противном случае последовательность расходится.

Теорема "о двух милиционерах": Предположим, что и {cn} является последовательностью, такой что для всех n > N, где N − натуральное число. Тогда
Последовательность {an} является ограниченной, если существует такое число M > 0, что |an| ≤ M для любого значения n.

Если числовая последовательность сходится, то она ограничена. Любая неограниченная последовательность расходится.

Последовательность {an} называется монотонно возрастающей, если anan+1 для всех n ≥ 1. Аналогично, последовательность {an} называется монотонно убывающей, если anan+1 для всех n ≥ 1. Последовательность {an}

называется монотонной, если она монотонно возрастает или монотонно убывает.

Пример 1 Записать общую формулу для n-го члена an числовой последовательности и определить ее предел (если он существует).

     

Решение.
В данном примере . Тогда предел равен
     
Таким образом, последовательность сходится к 1.

Пример 2 Записать формулу n-го члена an числовой последовательности и определить ее предел (если он существует).

     

Решение.
Нетрудно увидеть, что n-ый член последовательности описывается формулой . Поскольку , то можно записать
     
Применяя правило Лопиталя, находим предел:
     
Следовательно, по теореме "о двух милиционерах" предел исходной последовательности равен

     

Пример 3 Определить, сходится или расходится последовательность ?


Решение.
При вычислении предела разделим числитель и знаменатель на n в максимальной степени, равной 1:
     
Следовательно, последовательность сходится к .

Пример 4 Определить, сходится или расходится последовательность ?


Решение.
По правилу Лопиталя находим
     
Поскольку предел конечен, то данная последовательность сходится.

Пример 5 Определить, является ли последовательность сходящейся или расходящейся?


Решение.
Умножим данное выражение на дробь . В результате получаем
     
Это значит, что последовательность сходится.

Пример 6 Определить, является ли последовательность монотонно возрастающей, убывающей или немонотонной?


Решение.
n + 1-ый член последовательности выражается формулой
     
Проверим неравенство anan+1:
     
Последнее неравенство очевидно, поскольку числитель отрицателен, а при n ≥ 1. Поэтому, данная последовательность является монотонно возрастающей.

   Пример 7 Исследовать числовую последовательность на монотонность.


Решение.
Запишем первые несколько членов последовательности:
     
Видно, что это убывающая последовательность. Чтобы подтвердить это, докажем, что справедливо неравенство anan+1. Имеем
     
Тогда условие anan+1 подразумевает
     
Умножим обе части неравенства на :
     

Поскольку последнее неравенство верно, то последовательность монотонно убывает.

Бесконечно малые функции

Функция α (x) называется бесконечно малой при , если

Предположим, что α (x) и β (x) - бесконечно малые функции при .
В частности, следующие функции являются эквивалентными:
  
  
  
  
  

При вычислении предела отношения двух бесконечно малых функций мы можем заменить эти функции их эквивалентными выражениями.

Пример 1 Найти предел .


Решение.
Используем формулы:
     
Тогда
     

Пример 2 Найти предел .


Решение.
Поскольку , то предел можно переписать в следующем виде:
     

Пример 3 Найти предел .


Решение.
Известно, что и при . Следовательно,
     

Пример 4 Найти предел .


Решение.
Заменяя квадратный корень на эквивалентную бесконечно малую функцию, получаем

     

Пример 5 Найти предел .


Решение.
Применим формулу при . В результате предел преобразуется следующим образом:
     

Пример 6 Вычислить предел .


Решение.
Заменим переменную: x − π = y. Здесь y → 0, если x → π. Тогда предел равен
     
Применяя формулу приведения , получаем
     
Наконец, заменяя косинус эквивалентным бесконечно малым выражением , находим предел:
     

Пример 7 Вычислить предел .


Решение.
Используя эквивалентное бесконечно малое выражение для логарифма: при , получаем
     

Пример 8 Вычислить предел .


Решение.
Пусть . Тогда при . Предел становится равным
     
Далее используем алгебраическое тождество
     
и находим предел
     

Пример 9 Вычислить предел .


Решение.
Используем следующие эквивалентные выражения для бесконечно малых функций:
     
Тогда предел можно записать в виде
     
Заменяя , получаем окончательный ответ
     

Пример 10 Вычислить предел .


Решение.
Сделаем замену переменной:
     
Тогда предел через новую переменную y записывается в виде
     
Заменим функции косинус и синус их эквивалентными бесконечно малыми выражениями по формулам
     
Предел становится равным
     
Мы ограничимся учетом бесконечно малых первого порядка малости и пренебрежем бесконечно малыми второго порядка . В результате, получаем окончательный ответ      

Вычислить интеграл image121 (209 bytes)
l - верхняя полуокружность |z| = 1, обход l против часовой стрелки.

Подинтегральная функция здесь непрерывная, но не аналитичная функция. Применим второй способ (формула (2)), поскольку кривая l имеет простое параметрическое представление:
z = eit, image122 (129 bytes)
Тогда image123 (287 bytes)
Подставляем в подинтегральное выражение имеем:
image124 (582 bytes)


Курс электрических цепей

Радиосигналы
История искусства
Основы конструирования
Энергосбережение