Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Раскрытие неопределенностей

Неопределенности типа
Пусть заданы две функции f (x) и g (x), такие, что
В этом случае говорят, что функция имеет неопределенность типа в точке x = a. Чтобы найти предел при x = a когда функция содержит неопределенность , нужно разложить на множители числитель и/или знаменатель и затем сократить члены, стремящиеся к нулю.

Примечание: В данном разделе при вычислении пределов не используется правило Лопиталя .

Неопределенности типа
Пусть две функции f (x) и g (x) обладают свойством
где a является действительным числом, либо стремится к + ∞ или − ∞. Говорят, что в этом случае функция имеет в точке a неопределенность типа . Для вычисления предела в этой точке необходимо разделить числитель и знаменатель на x в наивысшей степени.

Неопределенности типа
Неопределенности этих типов сводятся к рассмотренным выше неопределенностям типа и .

Пример 1 Вычислить предел .


Решение.
Подставив напрямую значение x = 1, убеждаемся, что данная функция имеет неопределенность в точке x = 1. Разложив числитель на множители, получаем
     

Пример 2 Вычислить предел .


Решение.
Функция имеет неопределенность типа в точке y = −2. Разложим числитель и знаменатель на множители.
     
(Мы использовали здесь формулу разложения квадратного трехчлена на множители: ax2 + bx + c = a (x − x1)(x − x2), где x1 и x2 - корни квадратного уравнения.)

Аналогично,
     
Таким образом, предел равен
     

Пример 3 Вычислить предел .


Решение.
Подстановка показывает, что функция имеет неопределенность типа . Разделим числитель и знаменатель на x3 (x в наивысшей степени знаменателя). В результате получаем

     

Пример 4 Вычислить предел .


Решение.
Перепишем знаменатель в виде
     
и разложим его как разность кубов:
     
В результате можно найти предел:
     

Пример 5 Вычислить предел .


Решение.
Сделаем замену переменной: . Тогда . Получаем
     
Преобразуем полученное выражение, используя формулу приведения . В результате находим значение предела

     

Пример 6 Вычислить предел .


Решение.
Если , то
     
Таким образом, здесь мы имеем дело с неопределенностью типа . Умножим и разделим данную иррациональную функцию на сопряженное выражение.
     
Вычисляя предел каждого члена, получаем ответ:
     

Пример 7 Найти предел .


Решение.
Для вычисления предела избавимся от иррациональностей в числителе и знаменателе, умножив их на соответствующие сопряженные выражения.
     

Пример 8 Найти предел .


Решение.
Разделим числитель и знаменатель на x30 (x в наивысшей степени). Получаем
     

Пример 9 Найти предел .


Решение.
Используя формулы
     
преобразуем предел и найдем его значение:
     

Пример 10 Найти предел .


Решение.
Пусть . Тогда при . Следовательно,
     

Пример 11 Найти предел .


Решение.
Данная функция определена только при t ≥ 0. Умножим и разделим ее на сопряженное выражение . Получаем
     
Теперь и числитель, и знаменатель стремятся к ∞ при . Следовательно, разделим числитель и знаменатель на - то есть t в наивысшей степени знаменателя. Тогда
     

 

  Пример 12 Найти предел .


Решение.
Используя тригонометричское тождество , перепишем предел в следующем виде
     
В последнем выражении первый предел, очевидно, равен 1. Во втором пределе функция косинус ограничена в интервале от −1 до 1, а знаменатель стремится к ∞ при . Поэтому, окончательный ответ равен      

Вычислить интеграл image121 (209 bytes)
l - верхняя полуокружность |z| = 1, обход l против часовой стрелки.

Подинтегральная функция здесь непрерывная, но не аналитичная функция. Применим второй способ (формула (2)), поскольку кривая l имеет простое параметрическое представление:
z = eit, image122 (129 bytes)
Тогда image123 (287 bytes)
Подставляем в подинтегральное выражение имеем:
image124 (582 bytes)


Решение задач на исследование функции Математический анализ