Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Раскрытие неопределенностей

Неопределенности типа
Пусть заданы две функции f (x) и g (x), такие, что
В этом случае говорят, что функция имеет неопределенность типа в точке x = a. Чтобы найти предел при x = a когда функция содержит неопределенность , нужно разложить на множители числитель и/или знаменатель и затем сократить члены, стремящиеся к нулю.

Примечание: В данном разделе при вычислении пределов не используется правило Лопиталя .

Неопределенности типа
Пусть две функции f (x) и g (x) обладают свойством
где a является действительным числом, либо стремится к + ∞ или − ∞. Говорят, что в этом случае функция имеет в точке a неопределенность типа . Для вычисления предела в этой точке необходимо разделить числитель и знаменатель на x в наивысшей степени.

Неопределенности типа
Неопределенности этих типов сводятся к рассмотренным выше неопределенностям типа и .

Пример 1 Вычислить предел .


Решение.
Подставив напрямую значение x = 1, убеждаемся, что данная функция имеет неопределенность в точке x = 1. Разложив числитель на множители, получаем
     

Пример 2 Вычислить предел .


Решение.
Функция имеет неопределенность типа в точке y = −2. Разложим числитель и знаменатель на множители.
     
(Мы использовали здесь формулу разложения квадратного трехчлена на множители: ax2 + bx + c = a (x − x1)(x − x2), где x1 и x2 - корни квадратного уравнения.)

Аналогично,
     
Таким образом, предел равен
     

Пример 3 Вычислить предел .


Решение.
Подстановка показывает, что функция имеет неопределенность типа . Разделим числитель и знаменатель на x3 (x в наивысшей степени знаменателя). В результате получаем

     

Пример 4 Вычислить предел .


Решение.
Перепишем знаменатель в виде
     
и разложим его как разность кубов:
     
В результате можно найти предел:
     

Пример 5 Вычислить предел .


Решение.
Сделаем замену переменной: . Тогда . Получаем
     
Преобразуем полученное выражение, используя формулу приведения . В результате находим значение предела

     

Пример 6 Вычислить предел .


Решение.
Если , то
     
Таким образом, здесь мы имеем дело с неопределенностью типа . Умножим и разделим данную иррациональную функцию на сопряженное выражение.
     
Вычисляя предел каждого члена, получаем ответ:
     

Пример 7 Найти предел .


Решение.
Для вычисления предела избавимся от иррациональностей в числителе и знаменателе, умножив их на соответствующие сопряженные выражения.
     

Пример 8 Найти предел .


Решение.
Разделим числитель и знаменатель на x30 (x в наивысшей степени). Получаем
     

Пример 9 Найти предел .


Решение.
Используя формулы
     
преобразуем предел и найдем его значение:
     

Пример 10 Найти предел .


Решение.
Пусть . Тогда при . Следовательно,
     

Пример 11 Найти предел .


Решение.
Данная функция определена только при t ≥ 0. Умножим и разделим ее на сопряженное выражение . Получаем
     
Теперь и числитель, и знаменатель стремятся к ∞ при . Следовательно, разделим числитель и знаменатель на - то есть t в наивысшей степени знаменателя. Тогда
     

 

  Пример 12 Найти предел .


Решение.
Используя тригонометричское тождество , перепишем предел в следующем виде
     
В последнем выражении первый предел, очевидно, равен 1. Во втором пределе функция косинус ограничена в интервале от −1 до 1, а знаменатель стремится к ∞ при . Поэтому, окончательный ответ равен      

Вычислить интеграл image121 (209 bytes)
l - верхняя полуокружность |z| = 1, обход l против часовой стрелки.

Подинтегральная функция здесь непрерывная, но не аналитичная функция. Применим второй способ (формула (2)), поскольку кривая l имеет простое параметрическое представление:
z = eit, image122 (129 bytes)
Тогда image123 (287 bytes)
Подставляем в подинтегральное выражение имеем:
image124 (582 bytes)


Решение задач на исследование функции Математический анализ