Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Геометрическая прогрессия

Последовательность чисел {an} называется геометрической прогрессией, если отношение последующего члена к предыдущему равно одному и тому же постоянному числу q, называемому знаменателем геометрической прогрессии. Таким образом, для всех членов геометрической прогрессии. Предполагается, что q ≠ 0 и q ≠ 1.

Любой член геометрической прогрессии можно вычислить по формуле:

Сумма первых n членов геометрической прогрессии определяется выражением
Говорят, что бесконечная геометрическая прогрессия сходится, если предел существует и конечен.
В противном случае прогрессия расходится.

Пусть представляет собой бесконечный ряд геометрической прогрессии. Данный ряд сходится к , если знаменатель |q| < 1, и расходится, если знаменатель |q| > 1

.

Пример 1 Найти сумму первых 8 членов геометрической прогрессии 3, 6, 12, ...


Решение.
Здесь a1 = 3 и q = 2. Для n = 8 получаем
     

Пример 2 Найти сумму ряда .


Решение.
Данный ряд является бесконечной геометрической прогрессией со знаменателем q = − 0,37. Следовательно, прогрессия сходится и ее сумма равна

     

Пример 3 Найти сумму ряда

     

Решение.
Здесь мы имеем дело с конечной геометрической прогрессией, знаменатель которой равен . Поскольку сумма геометрической прогрессии выражается формулой
     
то получаем следующий результат:

     

Пример 4 Выразить бесконечную периодическую дробь 0,131313... рациональным числом.


Решение.
Запишем периодическую дробь в следующем виде:
     
Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем , получаем
     

Пример 5 Показать, что

     
при условии x > 1.

Решение.
Очевидно, что если x > 1, то . Тогда левая часть в заданном выражении представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Используя формулу , левую часть можно записать в виде
     
что доказывает исходное соотношение.

Пример 6 Решить уравнение

     

Решение.
Запишем левую часть уравнения в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
     
Тогда уравнение принимает вид
     
Находим корни квадратного уравнения:
     
Поскольку |x| < 1, то решением будет .

Пример 7 Известно, что второй член бесконечно убывающей геометрической прогрессии (|q| < 1) равен 21, а сумма равна 112. Найти первый член и знаменатель прогрессии.


Решение.
Используем формулу бесконечно убывающей геометрической прогрессии
     
Так как второй член прогрессии равен , то получаем следующую систему уравнений для определения a1 и q:
     
Решая систему, получаем квадратное уравнение:
     
Это уравнение имеет два корня:
     
Для каждого знаменателя q найдем соответствующие первые члены:
     
Таким образом, задача имеет два решения:
     

Вычислить интеграл image121 (209 bytes)
l - верхняя полуокружность |z| = 1, обход l против часовой стрелки.

Подинтегральная функция здесь непрерывная, но не аналитичная функция. Применим второй способ (формула (2)), поскольку кривая l имеет простое параметрическое представление:
z = eit, image122 (129 bytes)
Тогда image123 (287 bytes)
Подставляем в подинтегральное выражение имеем:
image124 (582 bytes)


Решение задач на исследование функции Математический анализ