Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Точки разрыва функции

Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a, а две имеют разрыв.

Непрерывна при x = a.
Имеет разрыв при x = a.
Непрерывна при x = a.
Имеет разрыв при x = a.
Рисунок 1.
Классификация точек разрыва функции
Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке
При этом возможно следующие два случая:
Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a

, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Пример 1 Исследовать функцию на непрерывность.


Решение.
Данная функция не определена в точках x = −1 и x = 1. Следовательно, функция имеет разрывы в точках x = ±1. Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы в этих точках.
     
Поскольку левосторонний предел при x = −1 равен бесконечности, то данная точка является точкой разрыва второго рода.
     
Аналогично, левосторонний предел в точке x = 1 равен бесконечности. Эта точка также является точкой разрыва второго рода.

Пример 2 Показать, что функция имеет устранимый разрыв в точке x = 0.


Решение.
Очевидно, данная функция не определена при x = 0. Поскольку sin x является непрерывной функцией для всех x, то искомая функция также непрерывна при всех x за исключением точки x = 0.
Так как , то в данной точке существует устранимый разрыв. Мы можем сконструировать новую функцию
     
которая будет непрерывной при любом действительном x.

Пример 3 Найти точки разрыва функции , если они существуют.


Решение.
Данная функция существует при всех значениях x, однако она состоит из двух различных функций и, поэтому, не является элементарной. Исследуем "поведение" этой функции вблизи точки x = 0, где ее аналитическое выражение изменяется.

Вычислим односторонние пределеы при x = 0.
     
Следовательно, функция имеет точку разрыва первого рода при x = 0. Скачок функции в этой точке равен
     
При всех других значениях x функция является непрерывной, поскольку обе составляющие функции слева и справа от точки x = 0 представляют собой элементарные функции без точек разрыва.

Пример 4 Найти точки разрыва функции , если они существуют.


Решение.
Данная элементарная функция определена для всех x, исключая точку x = 0, где она имеет разрыв. Найдем односторонние пределы в этой точке.
     
Видно, что в точке x = 0 существует разрыв первого рода (рисунок 2).
Рис.2
Рис.3

 

Пример 5 Найти точки разрыва функции , если таковые существуют.


Решение.
Функция определена и непрерывна при всех x, за исключением точки , где существует разрыв. Исследуем точку разрыва.
     

Так как значения односторонних пределов конечны, то, следовательно, в точке существует разрыв первого рода. График функции схематически показан на рисунке 3.

  Четные и нечетные продолжения

Предположим, что f (x) является кусочно-непрерывной функцией, заданной в интервале [0, π]. Чтобы найти разложение данной функции в ряд Фурье, нужно продолжить ее и построить в интервале [−π, π]. Это можно сделать двумя способами:

  1. можно построить четное продолжение f (x):
  2. или построить нечетное продолжение f (x):
В случае четной функции разложение в ряд Фурье описывается выражением
где
В случае нечетной функции, соответственно, получаем
где коэффициенты разложения равны
Понятие четного и нечетного продолжения функции можно ввести и для непериодической функции. Пусть функция f (x) определена в интервале [0, L]. Используя четное продолжение данной функции на интервал [− L, L], получим следующую формулу разложения в ряд Фурье:
где
В случае нечетного продолжения соответствующая формула имеет вид
где коэффициенты bn равны

Пример 1 Разложить по четным гармоникам функцию

     

Решение.
Разложить функцию по четным гармоникам − это значит построить четное продолжение заданной функции. Соответствующий ряд Фурье будет иметь вид
     
Вычислим коэффициенты a0 и an:
     
Таким образом, разложение ступенчатой функции в ряд Фурье по четным гармоникам определяется выражением
     
График данной функции и Фурье аппроксимации для случаев n = 5 и n = 50 приводятся на рисунке 1.
Рис.1, d = 0.5, n = 5, n = 50
Рис.2, d = 1, n = 3, n = 10

Пример 2 Построить разложение в ряд Фурье по четным гармоникам для функции

     

Решение.
Используя четное продолжение первоначально заданной функции, можно записать
     
Коэффициенты Фурье a0 и an имеют значения:
     
Следовательно, Фурье разложение по четным гармоникам имеет вид (рисунок 2):
     

Пример 3 Построить нечетное продолжение функции , заданной в интервале [0, π].


Решение.
Поскольку мы применяем нечетное продолжение, разложение в ряд Фурье будет иметь вид
     
Коэффициенты bn равны
     
Здесь мы учли, что
     
Найденное выражение для ов bn верно при n ≥ 2. Если n = 1, то получаем
     
Кроме того, можно заметить, что для нечетных n = 2k + 1. Для четных значений индекса n = 2k справедливо выражение
     
Таким образом, разложение в ряд Фурье по нечетным гармоникам имеет вид (рисунок 3):
     
Рис.3, n = 3, n = 10
Рис.4, n = 1, n = 2

 

Пример 4 Построить нечетное продолжение функции , заданной в интервале [0, π].


Решение.
Для нечетного продолжения ряд Фурье записывается в виде
     
Найдем коэффициенты bn:
     
Применяя интегрирование по частям, получаем
     
Поскольку
     
то выражение для коэффициентов bn упрощается:
     
Последняя формула верна при n ≥ 2. Заметим, что для четных n = 2k, , а для нечетных n = 2k + 1, , где k = 1, 2, 3, ...

Вычислим отдельно b1:
     
Итак, разложение в ряд Фурье по нечетным гармоникам определяется формулой
     
На рисунке 4 (выше) показана исходная функция и ее Фурье аппроксимации при n = 1 и n = 2

Вычислить интеграл image121 (209 bytes)
l - верхняя полуокружность |z| = 1, обход l против часовой стрелки.

Подинтегральная функция здесь непрерывная, но не аналитичная функция. Применим второй способ (формула (2)), поскольку кривая l имеет простое параметрическое представление:
z = eit, image122 (129 bytes)
Тогда image123 (287 bytes)
Подставляем в подинтегральное выражение имеем:
image124 (582 bytes)


Решение задач на исследование функции Математический анализ