Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Точки разрыва функции

Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a, а две имеют разрыв.

Непрерывна при x = a.
Имеет разрыв при x = a.
Непрерывна при x = a.
Имеет разрыв при x = a.
Рисунок 1.
Классификация точек разрыва функции
Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке
При этом возможно следующие два случая:
Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a

, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Пример 1 Исследовать функцию на непрерывность.


Решение.
Данная функция не определена в точках x = −1 и x = 1. Следовательно, функция имеет разрывы в точках x = ±1. Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы в этих точках.
     
Поскольку левосторонний предел при x = −1 равен бесконечности, то данная точка является точкой разрыва второго рода.
     
Аналогично, левосторонний предел в точке x = 1 равен бесконечности. Эта точка также является точкой разрыва второго рода.

Пример 2 Показать, что функция имеет устранимый разрыв в точке x = 0.


Решение.
Очевидно, данная функция не определена при x = 0. Поскольку sin x является непрерывной функцией для всех x, то искомая функция также непрерывна при всех x за исключением точки x = 0.
Так как , то в данной точке существует устранимый разрыв. Мы можем сконструировать новую функцию
     
которая будет непрерывной при любом действительном x.

Пример 3 Найти точки разрыва функции , если они существуют.


Решение.
Данная функция существует при всех значениях x, однако она состоит из двух различных функций и, поэтому, не является элементарной. Исследуем "поведение" этой функции вблизи точки x = 0, где ее аналитическое выражение изменяется.

Вычислим односторонние пределеы при x = 0.
     
Следовательно, функция имеет точку разрыва первого рода при x = 0. Скачок функции в этой точке равен
     
При всех других значениях x функция является непрерывной, поскольку обе составляющие функции слева и справа от точки x = 0 представляют собой элементарные функции без точек разрыва.

Пример 4 Найти точки разрыва функции , если они существуют.


Решение.
Данная элементарная функция определена для всех x, исключая точку x = 0, где она имеет разрыв. Найдем односторонние пределы в этой точке.
     
Видно, что в точке x = 0 существует разрыв первого рода (рисунок 2).
Рис.2
Рис.3

 

Пример 5 Найти точки разрыва функции , если таковые существуют.


Решение.
Функция определена и непрерывна при всех x, за исключением точки , где существует разрыв. Исследуем точку разрыва.
     

Так как значения односторонних пределов конечны, то, следовательно, в точке существует разрыв первого рода. График функции схематически показан на рисунке 3.

  Четные и нечетные продолжения

Предположим, что f (x) является кусочно-непрерывной функцией, заданной в интервале [0, π]. Чтобы найти разложение данной функции в ряд Фурье, нужно продолжить ее и построить в интервале [−π, π]. Это можно сделать двумя способами:

  1. можно построить четное продолжение f (x):
  2. или построить нечетное продолжение f (x):
В случае четной функции разложение в ряд Фурье описывается выражением
где
В случае нечетной функции, соответственно, получаем
где коэффициенты разложения равны
Понятие четного и нечетного продолжения функции можно ввести и для непериодической функции. Пусть функция f (x) определена в интервале [0, L]. Используя четное продолжение данной функции на интервал [− L, L], получим следующую формулу разложения в ряд Фурье:
где
В случае нечетного продолжения соответствующая формула имеет вид
где коэффициенты bn равны

Пример 1 Разложить по четным гармоникам функцию

     

Решение.
Разложить функцию по четным гармоникам − это значит построить четное продолжение заданной функции. Соответствующий ряд Фурье будет иметь вид
     
Вычислим коэффициенты a0 и an:
     
Таким образом, разложение ступенчатой функции в ряд Фурье по четным гармоникам определяется выражением
     
График данной функции и Фурье аппроксимации для случаев n = 5 и n = 50 приводятся на рисунке 1.
Рис.1, d = 0.5, n = 5, n = 50
Рис.2, d = 1, n = 3, n = 10

Пример 2 Построить разложение в ряд Фурье по четным гармоникам для функции

     

Решение.
Используя четное продолжение первоначально заданной функции, можно записать
     
Коэффициенты Фурье a0 и an имеют значения:
     
Следовательно, Фурье разложение по четным гармоникам имеет вид (рисунок 2):
     

Пример 3 Построить нечетное продолжение функции , заданной в интервале [0, π].


Решение.
Поскольку мы применяем нечетное продолжение, разложение в ряд Фурье будет иметь вид
     
Коэффициенты bn равны
     
Здесь мы учли, что
     
Найденное выражение для ов bn верно при n ≥ 2. Если n = 1, то получаем
     
Кроме того, можно заметить, что для нечетных n = 2k + 1. Для четных значений индекса n = 2k справедливо выражение
     
Таким образом, разложение в ряд Фурье по нечетным гармоникам имеет вид (рисунок 3):
     
Рис.3, n = 3, n = 10
Рис.4, n = 1, n = 2

 

Пример 4 Построить нечетное продолжение функции , заданной в интервале [0, π].


Решение.
Для нечетного продолжения ряд Фурье записывается в виде
     
Найдем коэффициенты bn:
     
Применяя интегрирование по частям, получаем
     
Поскольку
     
то выражение для коэффициентов bn упрощается:
     
Последняя формула верна при n ≥ 2. Заметим, что для четных n = 2k, , а для нечетных n = 2k + 1, , где k = 1, 2, 3, ...

Вычислим отдельно b1:
     
Итак, разложение в ряд Фурье по нечетным гармоникам определяется формулой
     
На рисунке 4 (выше) показана исходная функция и ее Фурье аппроксимации при n = 1 и n = 2

Вычислить интеграл image121 (209 bytes)
l - верхняя полуокружность |z| = 1, обход l против часовой стрелки.

Подинтегральная функция здесь непрерывная, но не аналитичная функция. Применим второй способ (формула (2)), поскольку кривая l имеет простое параметрическое представление:
z = eit, image122 (129 bytes)
Тогда image123 (287 bytes)
Подставляем в подинтегральное выражение имеем:
image124 (582 bytes)


Решение задач на исследование функции Математический анализ