Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Тройные интегралы в сферических координатах

Сферическими координатами точки M(x,y,z) называются три числа − ρ, φ, θ , где

ρ − длина радиуса-вектора точки M;
φ − угол, образованный проекцией радиуса-вектора на плоскость Oxy и осью Ox;
θ − угол отклонения радиуса-вектора от положительного направления оси Oz (рисунок 1).
Рис.1
Обратите внимание, что определения ρ, φ в сферических и цилиндрических координатах отличаются друг от друга.

Сферические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами соотношениями
Якобиан перехода от декартовых координат к сферическим имеет вид:
Раскладывая определитель по второму столбцу, получаем
Соответственно, абсолютное значение якобиана равно
Следовательно, формула замены переменных при преобразовании декартовых координат в сферические имеет вид:
Тройной интеграл удобнее вычислять в сферических координатах, когда область интегрирования U представляет собой шар (или некоторую его часть) и/или когда подынтегральное выражение имеет вид
f (x2 + y2 + z2).

Иногда выгодно использовать т.н. обощенные сферические координаты, связанные с декартовыми формулами
В этом случае якобиан равен

Пример 1 Найти интеграл , где область интегрирования U − шар, заданный уравнением x2 + y2 + z2 = 25.


Решение.
Поскольку область U представляет собой шар, и к тому же подынтегральное выражение является функцией, зависящей от f (x2 + y2 + z2), то перейдем к сферическим координатам. Сделаем замену:
     
Новые переменные изменяются в пределах:
     
Учитывая якобиан
ρ2sin θ, записываем интеграл в виде:
     

Пример 2 Вычислить интеграл

     
где область U представляет собой единичный шар
x2 + y2 + z2 ≤ 1.

Решение.
Центр данного шара расположен в начале координат. Следовательно, в сферических координатах область интегрирования U описывается неравенствами
     
Записывая интеграл в сферических координатах, получаем
     
Как видно, тройной интеграл вырождается в произведение трех однократных интегралов, каждый из которых вычисляется независимо. В результате находим
     

   Пример 3 Вычислить интеграл xyzdxdydz, где область U представляет собой часть шара x2 + y2 + z2R2, расположенную в первом октанте x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.


Решение.
Перейдем к сферическим координатам. Сделаем замену переменных:
     
Новые переменные будут изменяться в пределах:
     
Тогда интеграл в сферических координатах равен

     

Пример 4 Найти тройной интеграл

     
где область U ограничена эллипсоидом
     

Решение.
Для вычисления интеграла перейдем к обобщенным сферическим координатам путем следующей замены переменных:
     
Модуль якобиана данного преобразования равен
|I| = abcρ2sin θ. Поэтому для дифференциалов справедливо соотношение
     
В новых координатах интеграл принимает вид:
     
В данной системе координат область интегрирования U' (являющаяся эллипсоидом) определяется неравенствами
     
Тогда тройной интеграл становится равным
     

Пример 5 Вычислить интеграл

     
используя сферические координаты

Решение.
Область интегрирования представляет собой часть шара, расположенная в первом октанте (рисунки 2,3), и, следовательно, ограничена неравенствами
     
Рис.2
Рис.3
Учитывая, что подынтегральное выражение равно
     
а дифференциалы связаны соотношениями
     
получаем      

Вычислить интеграл image121 (209 bytes)
l - верхняя полуокружность |z| = 1, обход l против часовой стрелки.

Подинтегральная функция здесь непрерывная, но не аналитичная функция. Применим второй способ (формула (2)), поскольку кривая l имеет простое параметрическое представление:
z = eit, image122 (129 bytes)
Тогда image123 (287 bytes)
Подставляем в подинтегральное выражение имеем:
image124 (582 bytes)


Решение задач на исследование функции Математический анализ