Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Тройные интегралы в сферических координатах

Сферическими координатами точки M(x,y,z) называются три числа − ρ, φ, θ , где

ρ − длина радиуса-вектора точки M;
φ − угол, образованный проекцией радиуса-вектора на плоскость Oxy и осью Ox;
θ − угол отклонения радиуса-вектора от положительного направления оси Oz (рисунок 1).
Рис.1
Обратите внимание, что определения ρ, φ в сферических и цилиндрических координатах отличаются друг от друга.

Сферические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами соотношениями
Якобиан перехода от декартовых координат к сферическим имеет вид:
Раскладывая определитель по второму столбцу, получаем
Соответственно, абсолютное значение якобиана равно
Следовательно, формула замены переменных при преобразовании декартовых координат в сферические имеет вид:
Тройной интеграл удобнее вычислять в сферических координатах, когда область интегрирования U представляет собой шар (или некоторую его часть) и/или когда подынтегральное выражение имеет вид
f (x2 + y2 + z2).

Иногда выгодно использовать т.н. обощенные сферические координаты, связанные с декартовыми формулами
В этом случае якобиан равен

Пример 1 Найти интеграл , где область интегрирования U − шар, заданный уравнением x2 + y2 + z2 = 25.


Решение.
Поскольку область U представляет собой шар, и к тому же подынтегральное выражение является функцией, зависящей от f (x2 + y2 + z2), то перейдем к сферическим координатам. Сделаем замену:
     
Новые переменные изменяются в пределах:
     
Учитывая якобиан
ρ2sin θ, записываем интеграл в виде:
     

Пример 2 Вычислить интеграл

     
где область U представляет собой единичный шар
x2 + y2 + z2 ≤ 1.

Решение.
Центр данного шара расположен в начале координат. Следовательно, в сферических координатах область интегрирования U описывается неравенствами
     
Записывая интеграл в сферических координатах, получаем
     
Как видно, тройной интеграл вырождается в произведение трех однократных интегралов, каждый из которых вычисляется независимо. В результате находим
     

   Пример 3 Вычислить интеграл xyzdxdydz, где область U представляет собой часть шара x2 + y2 + z2R2, расположенную в первом октанте x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.


Решение.
Перейдем к сферическим координатам. Сделаем замену переменных:
     
Новые переменные будут изменяться в пределах:
     
Тогда интеграл в сферических координатах равен

     

Пример 4 Найти тройной интеграл

     
где область U ограничена эллипсоидом
     

Решение.
Для вычисления интеграла перейдем к обобщенным сферическим координатам путем следующей замены переменных:
     
Модуль якобиана данного преобразования равен
|I| = abcρ2sin θ. Поэтому для дифференциалов справедливо соотношение
     
В новых координатах интеграл принимает вид:
     
В данной системе координат область интегрирования U' (являющаяся эллипсоидом) определяется неравенствами
     
Тогда тройной интеграл становится равным
     

Пример 5 Вычислить интеграл

     
используя сферические координаты

Решение.
Область интегрирования представляет собой часть шара, расположенная в первом октанте (рисунки 2,3), и, следовательно, ограничена неравенствами
     
Рис.2
Рис.3
Учитывая, что подынтегральное выражение равно
     
а дифференциалы связаны соотношениями
     
получаем      

Вычислить интеграл image121 (209 bytes)
l - верхняя полуокружность |z| = 1, обход l против часовой стрелки.

Подинтегральная функция здесь непрерывная, но не аналитичная функция. Применим второй способ (формула (2)), поскольку кривая l имеет простое параметрическое представление:
z = eit, image122 (129 bytes)
Тогда image123 (287 bytes)
Подставляем в подинтегральное выражение имеем:
image124 (582 bytes)


Решение задач на исследование функции Математический анализ