Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Тройные интегралы в цилиндрических координатах

В цилиндрических координатах положение точки M(x,y,z) в пространстве Oxyz определяется тремя числами − ρ, φ, z , где ρ − длина радиуса-вектора проекции точки M на плоскость Oxy, φ − угол, образованный этим радиусом-вектором с осью Ox (рисунок 1), z − проекция на ось Oz (ее значение одинаково в декартовых и цилиндрических координатах).

Рис.1
Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами соотношениями
Здесь предполагается, что
Якобиан перехода от декартовых координат к цилиндрическим равен
Тогда формула замены переменных при данном преобразовании имеет вид:
Переход к цилиндрическим координатам упрощает вычисление тройного интеграла в случаях, когда область интегрирования образована цилиндрической поверхностью.

Пример 1 Вычислить интеграл

     
где область U ограничена поверхностью
x2 + y2 ≤ 1 и плоскостями z = 0, z = 1 (рисунок 2).
Рис.2
Рис.3

Решение.
Данный интеграл удобно вычислить в цилиндрических координатах. Проекция области интегрирования на плоскость Oxy представляет собой круг
x2 + y2 ≤ 1 или 0 ≤ ρ ≤ 1 (рисунок 3).

Заметим, что подынтегральное выражение записывается в виде
     
Тогда интеграл будет равен
     
Здесь во втором интеграле добавлен множитель ρ − якобиан преобразования декартовых координат в цилиндрические. Все три интеграла по каждой из переменной не зависят друг от друга. В результате тройной интеграл легко вычисляется:
     

Пример 2 Вычислить интеграл

     
где область U ограничена поверхностями
x2 + y2 = 3z, z = 3 (рисунок 4).
Рис.4
Рис.5

Решение.
Область интегрирования изображена на рисунке 4. Для вычисления интеграла перейдем к цилиндрическим координатам:
     
Дифференциал при этом равен
     
Уравнение параболической поверхности принимает вид:
     
Проекция области интегрирования U на плоскость Oxy представляет собой окружность
x2 + y2 ≤ 9 радиусом ρ = 3 (рисунок 5). Координата ρ изменяется в пределах от 0 до 3, угол φ − от 0 до 2π, и координата z − от ρ/3 до 3. В результате интеграл будет равен

     

  Пример 3 Используя цилиндрические координаты, найти значение интеграла

     
Рис.6
Рис.7

Решение.
Область интегрирования U изображена на рисунке 6. Ее проекция на плоскость Oxy представляет собой круг
x2 + y2 = 22 (рисунок 7).

Новые переменные в цилиндрических координатах будут изменяться в пределах
     
Подставляя
x = ρ cos φ и y = ρ sin φ, найдем значение интеграла:
     

Пример 4 Вычислить интеграл, используя цилиндрические координаты:

     
Область U ограничена параболоидом  
z = 4 − x2y2, цилиндром x2 + y2 = 4 и плоскостями y = 0, z = 0 (рисунок 8).
Рис.8
Рис.9

Решение.
Изобразив схематически область интегрирования U, находим, что ее проекция на плоскость Oxy (область D) представляет собой полукруг радиусом
ρ = 2 (рисунок 9).

Перейдем к цилиндрическим координатам, применяя подстановки
     
Новые переменные будут изменяться в пределах
     
Теперь вычисляем интеграл:
     

Пример 5 Найти интеграл

     
где область U ограничена плоскостями
z = x + 1, z = 0 и цилиндрическими поверхностями x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4 (рисунок 10).
Рис.10
Рис.11

Решение.
Вычислим данный интеграл в цилиндрических координатах. Из условия
     
следует, что
     
Область интегрирования в плоскости Oxy представляет собой кольцо, ограниченное окружностями
x2 + y2 = 1 и x2 + y2 = 4 (рисунок 11). Следовательно, переменные ρ и φ изменяются в интервале
     
Находим интеграл:
     

Этот результат закономерен, поскольку область U симметрична относительно плоскости Oxz, а подынтегральная функция является четной.

Вычислить интеграл image121 (209 bytes)
l - верхняя полуокружность |z| = 1, обход l против часовой стрелки.

Подинтегральная функция здесь непрерывная, но не аналитичная функция. Применим второй способ (формула (2)), поскольку кривая l имеет простое параметрическое представление:
z = eit, image122 (129 bytes)
Тогда image123 (287 bytes)
Подставляем в подинтегральное выражение имеем:
image124 (582 bytes)


Решение задач на исследование функции Математический анализ