Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Тройные интегралы в декартовых координатах

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.

Рассмотрим случай, когда область интегрирования U является элементарной относительно оси Oz, т.е. любая прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу области U не более, чем в двух точках. Пусть область U ограничена снизу поверхностью z = z1(x,y), а сверху - поверхностью z = z2(x,y) (рисунок 1). Проекцией тела U на плоскость Oxy является область D (рисунок 2). Будем предполагать, что функции z1(x,y) и z2(x,y) непрерывны в области D.

Рис.1
Рис.2
Тогда для любой непрерывной в области U функции f (x,y,z) можно записать соотношение
Таким образом, вычисление тройного интеграла сводится к вычислению двойного интеграла, в котором подынтегральной функцией является однократный интеграл. В рассмотренном случае сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной z, а затем - двойной интеграл в области D по переменным x и y.

Если область
D(x,y) является областью типа I (смотрите Повторные интегралы), т.е. ограничена линиями
где
f1(x), f2(x) - непрерывные функции в интервале [a,b] и f1(x) ≤ f2(x), то, записывая двойной интеграл в виде повторного, получаем
В другом случае, когда область
D(x,y) относится к типу II (является элементарной относительно оси Ox) и ограничена линиями
где
φ1(y), φ2(y) - непрерывные на отрезке [c,d] функции, причем φ1(y) ≤ φ2(y), тройной интеграл представляется в виде
Формулы (1) и (2) называются формулами сведения тройного интеграла к повторному.

В частном случае, когда область интегрирования U представляет собой прямоугольный параллелепипед , тройной интеграл вычисляется по формуле
Если исходная область интегрирования U более сложная, чем рассмотренная выше, то ее нужно разбить на конечное число более простых областей, в которых уже можно вычислить тройные интегралы методом сведения к повторным.

   Пример 1 Вычислить интеграл

     

Решение.
Найдем последовательно все три интеграла:
     

Пример 2 Вычислить интеграл

     
где область U расположена в первом октанте ниже плоскости
3x + 2y + z = 6.

Решение.
Записывая уравнение плоскости
3x + 2y + z = 6 в отрезках:
     
изобразим область интегрирования U (рисунок 3).
Рис.3
Рис.4
Пределы интегрирования по z изменяются от
z = 0 до z = 6 − 3x − 2y. Рассматривая проекцию D в плоскости Oxy, находим, что переменная y изменяется от y = 0 до (рисунок 4). При этом переменная x "пробегает" от 0 до 2.

Итак, тройной интеграл выражается через повторный в виде
     
Вычисляем последовательно все три интеграла и находим ответ:

     

Пример 3 Вычислить тройной интеграл

     
где область U (рисунок 5) ограничена поверхностями
     
Рис.5
Рис.6

Решение.
Проекция области U на плоскость Оxy имеет вид, показанный на рисунке 6. Учитывая это, найдем соответствующие повторные интегралы:
     

Пример 4 Выразить тройной интеграл через повторные интегралы шестью различными способами. Область U расположена в первом октанте и ограничена цилиндром x2 + z2 = 4 и плоскостью y = 3 (рисунок 7). Найти значение интеграла.

Рис.7
Рис.8

Решение.
Если порядок интегрирования имеет вид "z-y-x", то повторный интеграл выглядит как
     
Аналогично записывается повторный интеграл для последовательности интегрирования
"z-x-y":
     
Теперь рассмотрим случай
"x-y-z", т.е. когда первый внутренний интеграл берется по переменной x.
Тогда
     
Поскольку проекция тела на плоскость Oyz представляет собой прямоугольник (рисунок 8), то меняя порядок интегрирования по y и z, получаем
     
Наконец повторный интеграл при интегрировании в порядке
"y-x-z" (начиная с внутреннего интеграла) имеет вид:
     
Последний шестой вариант записывается в виде:
     
Мы можем использовать любой из шести повторных интегралов чтобы вычислить значение тройного интеграла. Например, используя последний интеграл, получаем:
     
Сделаем замену:
     
Находим окончательный ответ:
     
Нетрудно проверить, что данное значение в точности равно 1/4 объема цилиндра, по которому проводилось интегрирование.

Вычислить интеграл image121 (209 bytes)
l - верхняя полуокружность |z| = 1, обход l против часовой стрелки.

Подинтегральная функция здесь непрерывная, но не аналитичная функция. Применим второй способ (формула (2)), поскольку кривая l имеет простое параметрическое представление:
z = eit, image122 (129 bytes)
Тогда image123 (287 bytes)
Подставляем в подинтегральное выражение имеем:
image124 (582 bytes)


Решение задач на исследование функции Математический анализ