Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Тригонометрические и гиперболические подстановки

В данной секции мы рассмотрим вычисление интегралов вида , где R - рациональная функция x и квадратного корня .

Предварительно преобразуем квадратичную функцию под знаком корня, выделив в ней полный квадрат:

Выполнив замену , мы получим один из следующих 3 интегралов в зависимости от значений коэффициентов a, b и с:


Каждый из этих трех интегралов вычисляется с помощью специальных тригонометрических или гиперболических подстановок.

1. Интегралы вида
Тригонометрическая подстановка:
2. Интегралы вида
Тригонометрическая подстановка:
Гиперболическая подстановка:
3. Интегралы вида
Тригонометрическая подстановка:
Гиперболическая подстановка:
Примечания:

Пример 1 Вычислить интеграл .


Решение.
Сделаем подстановку
     
Получаем
     

Здесь для упрощения интеграла мы использовали формулу .

Пример 2 Вычислить интеграл .


Решение.
Применим гиперболическую подстановку
x = a sh t, dx = a ch tdt. Поскольку , интеграл равен
     

Пример 3 Вычислить интеграл .


Решение.
Для нахождения этого интеграла используем замену . Применив соотношение , получаем
     
Выразим
sin t через x:
     
Следовательно, интеграл равен
     

Пример 4 Вычислить интеграл .


Решение.
Сделаем следующую подстановку: . Следовательно,
     
Тогда интеграл равен
     
Возвращаясь к первоначальной переменной x с помощью соотношений
     
находим ответ:
     

Пример 5 Вычислить интеграл .


Решение.
Используем тригонометрическую подстановку
x = a sec t, dx = a tg t sec tdt. Вычислим интеграл, применив соотношение .
     
Поскольку
     
то получаем интеграл, выраженный через исходную переменную x:
     

Пример 6 Найти интеграл .


Решение.
Предварительно преобразуем интеграл.
     
Сделаем подстановку
     
Теперь вычисляем интеграл:
     

Пример 7 Найти интеграл .


Решение.
Используем здесь (для разнообразия) гиперболическую подстановку: . Так как , то интеграл записывается в виде
     
Понизим степень подынтегральной функции с помощью формулы двойного угла . Тогда
     

Пример 8 Вычислить интеграл .


Решение.
Сначала выделим полный квадрат в выражении под корнем.
     
Теперь, используя подстановку и соотношение , находим интеграл
     
Интеграл вычислен . Окончательный ответ равен
     

Пример 9 Найти интеграл .


Решение.
Применим подстановку
     
Тогда
     
Выразим и через x:
     
Таким образом,
     

Пример 10 Вычислить интеграл .


Решение.
Применив тригонометрическую подстановку , получаем
     
Теперь сделаем замену . Интеграл примет вид
     
Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби и воспользуемся методом неопределенных коэффициентов для вычисления интегралов.
     
Определим коэффициенты.
     
Тогда
     
Следовательно, подынтегральное выражение записывается в виде
     
Вычислим исходный интеграл.
     
Возвращаясь к первоначальной переменной x с помощью соотношения
     
находим окончательный ответ:

     

Вычислить интеграл image121 (209 bytes)
l - верхняя полуокружность |z| = 1, обход l против часовой стрелки.

Подинтегральная функция здесь непрерывная, но не аналитичная функция. Применим второй способ (формула (2)), поскольку кривая l имеет простое параметрическое представление:
z = eit, image122 (129 bytes)
Тогда image123 (287 bytes)
Подставляем в подинтегральное выражение имеем:
image124 (582 bytes)


Решение задач на исследование функции Математический анализ