Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Тригонометрические и гиперболические подстановки

В данной секции мы рассмотрим вычисление интегралов вида , где R - рациональная функция x и квадратного корня .

Предварительно преобразуем квадратичную функцию под знаком корня, выделив в ней полный квадрат:

Выполнив замену , мы получим один из следующих 3 интегралов в зависимости от значений коэффициентов a, b и с:


Каждый из этих трех интегралов вычисляется с помощью специальных тригонометрических или гиперболических подстановок.

1. Интегралы вида
Тригонометрическая подстановка:
2. Интегралы вида
Тригонометрическая подстановка:
Гиперболическая подстановка:
3. Интегралы вида
Тригонометрическая подстановка:
Гиперболическая подстановка:
Примечания:

Пример 1 Вычислить интеграл .


Решение.
Сделаем подстановку
     
Получаем
     

Здесь для упрощения интеграла мы использовали формулу .

Пример 2 Вычислить интеграл .


Решение.
Применим гиперболическую подстановку
x = a sh t, dx = a ch tdt. Поскольку , интеграл равен
     

Пример 3 Вычислить интеграл .


Решение.
Для нахождения этого интеграла используем замену . Применив соотношение , получаем
     
Выразим
sin t через x:
     
Следовательно, интеграл равен
     

Пример 4 Вычислить интеграл .


Решение.
Сделаем следующую подстановку: . Следовательно,
     
Тогда интеграл равен
     
Возвращаясь к первоначальной переменной x с помощью соотношений
     
находим ответ:
     

Пример 5 Вычислить интеграл .


Решение.
Используем тригонометрическую подстановку
x = a sec t, dx = a tg t sec tdt. Вычислим интеграл, применив соотношение .
     
Поскольку
     
то получаем интеграл, выраженный через исходную переменную x:
     

Пример 6 Найти интеграл .


Решение.
Предварительно преобразуем интеграл.
     
Сделаем подстановку
     
Теперь вычисляем интеграл:
     

Пример 7 Найти интеграл .


Решение.
Используем здесь (для разнообразия) гиперболическую подстановку: . Так как , то интеграл записывается в виде
     
Понизим степень подынтегральной функции с помощью формулы двойного угла . Тогда
     

Пример 8 Вычислить интеграл .


Решение.
Сначала выделим полный квадрат в выражении под корнем.
     
Теперь, используя подстановку и соотношение , находим интеграл
     
Интеграл вычислен . Окончательный ответ равен
     

Пример 9 Найти интеграл .


Решение.
Применим подстановку
     
Тогда
     
Выразим и через x:
     
Таким образом,
     

Пример 10 Вычислить интеграл .


Решение.
Применив тригонометрическую подстановку , получаем
     
Теперь сделаем замену . Интеграл примет вид
     
Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби и воспользуемся методом неопределенных коэффициентов для вычисления интегралов.
     
Определим коэффициенты.
     
Тогда
     
Следовательно, подынтегральное выражение записывается в виде
     
Вычислим исходный интеграл.
     
Возвращаясь к первоначальной переменной x с помощью соотношения
     
находим окончательный ответ:

     

Вычислить интеграл image121 (209 bytes)
l - верхняя полуокружность |z| = 1, обход l против часовой стрелки.

Подинтегральная функция здесь непрерывная, но не аналитичная функция. Применим второй способ (формула (2)), поскольку кривая l имеет простое параметрическое представление:
z = eit, image122 (129 bytes)
Тогда image123 (287 bytes)
Подставляем в подинтегральное выражение имеем:
image124 (582 bytes)


Решение задач на исследование функции Математический анализ