Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Поверхностные интегралы первого рода

Рассмотрим скалярную функцию и поверхность S. Пусть S задана векторной функцией

где координаты (u,v) изменяются в пределах некоторой области определения в плоскости uv. Заметим, что функция рассматривается только в точках, принадлежащих поверхности S, то есть
Поверхностный интеграл первого рода от функции по поверхности S определяется следующим образом:
где частные производные и равны
а означает векторное произведение. Вектор перпендикулярен поверхности в точке .

Абсолютное значение называется элементом площади: оно соответствует изменению площади dS в результате приращения координат u и v на малые значения du и dv (рисунок 1).
Рис.1
Рис.2
Площадь поверхности S выражается с помощью поверхностного интеграла в виде
Если поверхность S задана уравнением , где
z (x,y) − дифференцируемая функция в области D (x,y), то поверхностный интеграл находится по формуле
Если поверхность S состоит из нескольких частей Si, то для вычисления поверхностного интеграла можно использовать свойство аддитивности:

Пример 1 Вычислить поверхностный интеграл , где S − часть плоскости , лежащая в первом октанте (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0).


Решение.
Запишем уравнение плоскости в виде
     
Найдем частные производные
     
Применяя формулу
     
поверхностный интеграл можно выразить через двойной интеграл:
     
Область интегрирования D представляет собой треугольник, показанный выше на рисунке 2. Вычисляем окончательно заданный интеграл:
     

Пример 2 Вычислить интеграл , где S представляет собой полную поверхность конуса .


Решение.
Обозначим через S1 боковую поверхность конуса, и через S2 − его основание. Запишем данный интеграл в виде суммы двух интегралов
     
Найдем сначала первый интеграл I1, используя формулу
     
Частные производные здесь равны
     
Тогда
     
Поскольку
z = 2 для основания конуса, то область интегрирования D (x,y) определяется неравенством z2 + y2 ≤ 4 (рисунок 3). Следовательно, интеграл I1 записывается в виде
     
Его легко вычислить в полярных координатах:
     
Рассмотрим теперь второй интеграл I2. Уравнение основания конуса имеет вид
z = 2. Поэтому,
     
где равно площади основания . Тогда
     
Таким образом, полное значение поверхностного интеграла равно
     
Рис.3
Рис.4

 

Пример 3 Вычислить интеграл , где S − часть конуса внутри поверхности .


Решение.
Определим сначала область интегрирования D, которая является проекцией поверхности S на плоскость Oxy. Запишем уравнение в следующем виде:
     
Как видно, область интегрирования D представляет собой круг с центром в точке
(a, 0) (рисунок 4). Поскольку частные производные равны
     
то элемент площади конической поверхности имеет вид
     
Следовательно, по формуле
     
получаем
     
Для вычисления полученного интеграла удобно перейти к полярным координатам. Область интегрирования D при этом принимает вид
     
Тогда интеграл равен
     
В последней формуле интеграл I1 равен нулю, поскольку подынтегральная функция является нечетной, а интегрирование выполняется в интервале, симметричном относительно начала координат. Отсюда следует
     

Пример 4 Найти интеграл , где поверхность S − часть сферы , лежащая в первом октанте.


Решение.
Данный интеграл удобно вычислять в сферических координатах. Элемент площади в сферических координатах имеет вид . Поскольку , то интеграл можно записать в следующей форме:
     
Область интегрирования определяется как
     
Следовательно, интеграл равен
     

Пример 5 Найти интеграл , где S − часть цилиндрической поверхности, заданной параметрически в виде .


Решение.
Вычислим частные производные:
     
и их векторное произведение
     
Тогда, элемент площади заданной поверхности равен
     
Теперь можно вычислить поверхностный интеграл:
     

   Пример 6 Вычислить интеграл . Поверхность S задана параметрически в виде .


Решение.
Найдем частные производные и их векторное произведение:
     
Тогда элемент площади равен
     
Теперь несложно вычислить заданный поверхностный интеграл:      

Исследовать на конформность в точке z=¥ функцию w=iz-2.

Решение. Во всех точках z¹¥ производная существует и не равна нулю. При z=¥  , w=¥, поэтому, согласно определению, необходимо сделать две замены: , и . В итоге, для исследования на конформность имеем функцию Эта функция в точке z=0 имеет производную не равную нулю.


Решение задач на исследование функции Математический анализ