Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Пример 3 Найти массу шара радиуса R, плотность которого пропорциональна квадрату расстояния от центра.

Решение.
По условию, плотность γ задана соотношением γ = ar2, где a − некоторая постоянная, r − расстояние от центра. Массу шара удобно вычислить в сферических координатах:

     

Пример 4 Найти момент инерции прямого круглого однородного конуса относительно его оси. Конус имеет радиус основания R, высоту H и общую массу m (рисунок 3).

Рис.3

Решение.
Момент инерции тела относительно оси Oz выражается формулой
     
Поскольку конус является однородным, то плотность γ(x,y,z) = γ0 можно вынести за знак интеграла:
     
Перейдем к цилиндрическим координатам с помощью замены
     
Новые переменные изменяются в пределах
     
Тогда момент инерции равен
     
Выразим плотность γ0 через известную массу конуса m. Так как
     
то, следовательно
     
Окончательно получаем
     
Интересно, что момент инерции конуса не зависит от его высоты.

Пример 5 С какой силой притягивает однородный шар массы M материальную точку массы m, расположенную на расстоянии a от центра шара (a > R)?


Решение.
Без снижения общности материальную точку можно поместить на оси Oz (рисунок 4), так что ее координата составляет (0, 0, a).
Рис.4
Рис.5
Решим задачу следующим образом. Сначала вычислим потенциал шара, а затем найдем силу притяжения материальной точки и шара. При этом для нахождения потенциала шара вместо вычисления тройного интеграла технически удобно сначала определить потенциал сферы (через поверхностный интеграл), а затем уже получить результат для шара (выполнив еще одно интегрирование).

Итак, вычислим потенциал сферы произвольного радиуса r (r ≤ R). Выделим на сфере малый участок площадью dS, как показано на рисунке 5. Масса этого участка равна
     
где ρ(r) − плотность сферы, а dr − ее толщина. Указанная сфера создает в точке P потенциал, равный
     
где расстояние δ от участка dS до точки P выражено по теореме косинусов через величины a, r, θ.

Учитывая, что элемент площади равен , получаем
     
Вычислим отдельно интеграл по переменной θ. Сделаем следующую замену: пусть
     
Тогда
     
В результате находим интеграл
     
Таким образом, потенциал сферы радиуса r равен
     
Теперь можно вычислить потенциал шара радиуса R. Пусть для простоты плотность шара постоянна и равна ρ0. Получаем
     
В полученном выражении 4/3πR3 = V − это объем шара, а ρ0V = M − масса шара. В итоге мы доказали, что потенциал гравитационного поля, создаваемого шаром на расстоянии a от центра шара (a > R), выражается формулой
     
Далее легко найти силу притяжения шара и материальной точки. Поскольку
     
то сила равна
     
Знак "минус" означает, что сила направлена в сторону, противоположную оси Oz, т.е. является силой притяжения.

Как видно, сила притяжения шара и точки имеет такой же вид, как и сила притяжения двух точечных масс! Это один из фундаментальных результатов в астрофизике и небесной механике. Благодаря этому, планеты и звезды часто можно рассматривать как материальные точки при описании их движения. Чтобы получить этот результат, Исаак Ньютон был вынужден даже отложить публикацию своих знаменитых "Начал Философии". Возможно трудности были связаны с тем, что он не использовал сферические координаты при решении этой задачи...

Пример 6 Пусть планета имеет радиус R, а ее плотность выражается зависимостью

     
Вычислить массу планеты.

Решение.
Расссмотрим подробнее закон изменения плотности. Если r = R, то
     
где γ0 − некоторая поверхностная плотность планеты. Если r → 0, то γ → ∞ (рисунок 6).
Рис.6
Массу планеты вычислим с помощью тройного интеграла по формуле:
     
Переходя к сферическим координатам, получаем
     
Поскольку объем планеты равен 4/3πR3, то ответ можно записать и в такой форме:
     

Как видно, масса планеты на 25% больше по сравнению со случаем, когда плотность распределена однородно.

Исследовать на конформность в точке z=¥ функцию w=iz-2.

Решение. Во всех точках z¹¥ производная существует и не равна нулю. При z=¥  , w=¥, поэтому, согласно определению, необходимо сделать две замены: , и . В итоге, для исследования на конформность имеем функцию Эта функция в точке z=0 имеет производную не равную нулю.


Решение задач на исследование функции Математический анализ