Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Пример 3 Найти массу шара радиуса R, плотность которого пропорциональна квадрату расстояния от центра.

Решение.
По условию, плотность γ задана соотношением γ = ar2, где a − некоторая постоянная, r − расстояние от центра. Массу шара удобно вычислить в сферических координатах:

     

Пример 4 Найти момент инерции прямого круглого однородного конуса относительно его оси. Конус имеет радиус основания R, высоту H и общую массу m (рисунок 3).

Рис.3

Решение.
Момент инерции тела относительно оси Oz выражается формулой
     
Поскольку конус является однородным, то плотность γ(x,y,z) = γ0 можно вынести за знак интеграла:
     
Перейдем к цилиндрическим координатам с помощью замены
     
Новые переменные изменяются в пределах
     
Тогда момент инерции равен
     
Выразим плотность γ0 через известную массу конуса m. Так как
     
то, следовательно
     
Окончательно получаем
     
Интересно, что момент инерции конуса не зависит от его высоты.

Пример 5 С какой силой притягивает однородный шар массы M материальную точку массы m, расположенную на расстоянии a от центра шара (a > R)?


Решение.
Без снижения общности материальную точку можно поместить на оси Oz (рисунок 4), так что ее координата составляет (0, 0, a).
Рис.4
Рис.5
Решим задачу следующим образом. Сначала вычислим потенциал шара, а затем найдем силу притяжения материальной точки и шара. При этом для нахождения потенциала шара вместо вычисления тройного интеграла технически удобно сначала определить потенциал сферы (через поверхностный интеграл), а затем уже получить результат для шара (выполнив еще одно интегрирование).

Итак, вычислим потенциал сферы произвольного радиуса r (r ≤ R). Выделим на сфере малый участок площадью dS, как показано на рисунке 5. Масса этого участка равна
     
где ρ(r) − плотность сферы, а dr − ее толщина. Указанная сфера создает в точке P потенциал, равный
     
где расстояние δ от участка dS до точки P выражено по теореме косинусов через величины a, r, θ.

Учитывая, что элемент площади равен , получаем
     
Вычислим отдельно интеграл по переменной θ. Сделаем следующую замену: пусть
     
Тогда
     
В результате находим интеграл
     
Таким образом, потенциал сферы радиуса r равен
     
Теперь можно вычислить потенциал шара радиуса R. Пусть для простоты плотность шара постоянна и равна ρ0. Получаем
     
В полученном выражении 4/3πR3 = V − это объем шара, а ρ0V = M − масса шара. В итоге мы доказали, что потенциал гравитационного поля, создаваемого шаром на расстоянии a от центра шара (a > R), выражается формулой
     
Далее легко найти силу притяжения шара и материальной точки. Поскольку
     
то сила равна
     
Знак "минус" означает, что сила направлена в сторону, противоположную оси Oz, т.е. является силой притяжения.

Как видно, сила притяжения шара и точки имеет такой же вид, как и сила притяжения двух точечных масс! Это один из фундаментальных результатов в астрофизике и небесной механике. Благодаря этому, планеты и звезды часто можно рассматривать как материальные точки при описании их движения. Чтобы получить этот результат, Исаак Ньютон был вынужден даже отложить публикацию своих знаменитых "Начал Философии". Возможно трудности были связаны с тем, что он не использовал сферические координаты при решении этой задачи...

Пример 6 Пусть планета имеет радиус R, а ее плотность выражается зависимостью

     
Вычислить массу планеты.

Решение.
Расссмотрим подробнее закон изменения плотности. Если r = R, то
     
где γ0 − некоторая поверхностная плотность планеты. Если r → 0, то γ → ∞ (рисунок 6).
Рис.6
Массу планеты вычислим с помощью тройного интеграла по формуле:
     
Переходя к сферическим координатам, получаем
     
Поскольку объем планеты равен 4/3πR3, то ответ можно записать и в такой форме:
     

Как видно, масса планеты на 25% больше по сравнению со случаем, когда плотность распределена однородно.

Исследовать на конформность в точке z=¥ функцию w=iz-2.

Решение. Во всех точках z¹¥ производная существует и не равна нулю. При z=¥  , w=¥, поэтому, согласно определению, необходимо сделать две замены: , и . В итоге, для исследования на конформность имеем функцию Эта функция в точке z=0 имеет производную не равную нулю.


Решение задач на исследование функции Математический анализ