Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Пример 5 Найти силу притяжения между полусферой с постоянной плотностью μ0 радиусом r с центром в начале координат и точечной массой m, расположенной в начале координат.


Решение.
Рассмотрим точку M(x,y,z) полусферы, которая принадлежит малому участку поверхности dS (рисунок 5). Силу притяжения между элементом поверхности dS и массой m можно записать в виде
     
где G − гравитационная постоянная, − единичный вектор, направленный из точки O в точку M.
Так как , то можно записать
     
После интегрирования по поверхности полусферы получаем следующие выражения для компонентов силы притяжения:
     
В сферических координатах уравнение полусферы записывается в виде
     
где .
Известно, что элемент площади для сферы равен . Тогда компоненты силы притяжения будут равны
     
Заметим, что результат очевиден вследствие симметрии и однородности поверхности. Поэтому, результирующая сила направлена вдоль оси Oz.
Рис.5
Рис.6

 

Пример 6 Оценить силу давления, действующую на дамбу, схематически показанную на рисунке 6 и представляющую собой резервуар воды шириной W и высотой H.


Решение.
В условиях гидростатического равновесия давление на поверхность дамбы зависит от координаты z в соответствии с формулой
     
где ρ − плотность воды, g − ускорение свободного падения.

Полная сила давления, действующая на плотину, будет равна
     
Вектор показывает направление действия силы . Абсолютное значение силы равно

     

  Пример 7 Вязкая жидкость течет в цилиндрической трубе радиусом R со скоростью (м·с−1), где − единичный вектор, направленный вдоль оси трубы в сторону потока, r − расстояние от оси, C − некоторая константа (рисунок 7). Вычислить поток жидкости через поперечное сечение трубы.


Решение.
Для определения потока жидкости необходимо вычислить поверхностный интеграл
     
Так как векторы и сонаправлены, то поток равен
     
Переходя к полярным координатам, получаем
     
Последний интеграл можно вычислить с помощью интегрирования по частям. Полагая
     
можно записать
     
Таким образом, поток жидкости равен
     
Рис.7
Рис.8

 

 

Пример 8 Определить электрическое поле бесконечной пластины с однородно распределенным зарядом плотностью σ.


Решение.
В силу симметрии системы вектор напряженности электрического поля должен быть перпендикулярен поверхности, а величина напряженности должна быть одинакова во всех точках, равноудаленных от пластины.

Рассмотрим условную гауссовскую поверхность в форме цилиндра с поперечным сечением S и высотой 2H (рисунок 8). Поток электрического смещения отличен от нуля лишь на основаниях цилиндра. Следовательно, , где E − электрическое поле в основаниях цилиндра. Полный заряд внутри цилиндрической поверхности равен . Тогда по теореме Гаусса получаем
     

Исследовать на конформность в точке z=¥ функцию w=iz-2.

Решение. Во всех точках z¹¥ производная существует и не равна нулю. При z=¥  , w=¥, поэтому, согласно определению, необходимо сделать две замены: , и . В итоге, для исследования на конформность имеем функцию Эта функция в точке z=0 имеет производную не равную нулю.


Решение задач на исследование функции Математический анализ