Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Пример 5 Найти силу притяжения между полусферой с постоянной плотностью μ0 радиусом r с центром в начале координат и точечной массой m, расположенной в начале координат.


Решение.
Рассмотрим точку M(x,y,z) полусферы, которая принадлежит малому участку поверхности dS (рисунок 5). Силу притяжения между элементом поверхности dS и массой m можно записать в виде
     
где G − гравитационная постоянная, − единичный вектор, направленный из точки O в точку M.
Так как , то можно записать
     
После интегрирования по поверхности полусферы получаем следующие выражения для компонентов силы притяжения:
     
В сферических координатах уравнение полусферы записывается в виде
     
где .
Известно, что элемент площади для сферы равен . Тогда компоненты силы притяжения будут равны
     
Заметим, что результат очевиден вследствие симметрии и однородности поверхности. Поэтому, результирующая сила направлена вдоль оси Oz.
Рис.5
Рис.6

 

Пример 6 Оценить силу давления, действующую на дамбу, схематически показанную на рисунке 6 и представляющую собой резервуар воды шириной W и высотой H.


Решение.
В условиях гидростатического равновесия давление на поверхность дамбы зависит от координаты z в соответствии с формулой
     
где ρ − плотность воды, g − ускорение свободного падения.

Полная сила давления, действующая на плотину, будет равна
     
Вектор показывает направление действия силы . Абсолютное значение силы равно

     

  Пример 7 Вязкая жидкость течет в цилиндрической трубе радиусом R со скоростью (м·с−1), где − единичный вектор, направленный вдоль оси трубы в сторону потока, r − расстояние от оси, C − некоторая константа (рисунок 7). Вычислить поток жидкости через поперечное сечение трубы.


Решение.
Для определения потока жидкости необходимо вычислить поверхностный интеграл
     
Так как векторы и сонаправлены, то поток равен
     
Переходя к полярным координатам, получаем
     
Последний интеграл можно вычислить с помощью интегрирования по частям. Полагая
     
можно записать
     
Таким образом, поток жидкости равен
     
Рис.7
Рис.8

 

 

Пример 8 Определить электрическое поле бесконечной пластины с однородно распределенным зарядом плотностью σ.


Решение.
В силу симметрии системы вектор напряженности электрического поля должен быть перпендикулярен поверхности, а величина напряженности должна быть одинакова во всех точках, равноудаленных от пластины.

Рассмотрим условную гауссовскую поверхность в форме цилиндра с поперечным сечением S и высотой 2H (рисунок 8). Поток электрического смещения отличен от нуля лишь на основаниях цилиндра. Следовательно, , где E − электрическое поле в основаниях цилиндра. Полный заряд внутри цилиндрической поверхности равен . Тогда по теореме Гаусса получаем
     

Исследовать на конформность в точке z=¥ функцию w=iz-2.

Решение. Во всех точках z¹¥ производная существует и не равна нулю. При z=¥  , w=¥, поэтому, согласно определению, необходимо сделать две замены: , и . В итоге, для исследования на конформность имеем функцию Эта функция в точке z=0 имеет производную не равную нулю.


Решение задач на исследование функции Математический анализ