Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Пример 1 Найти массу цилиндрической оболочки, заданной параметрически в виде , где (рисунок 2 выше). Плотность оболочки определяется функцией .

Решение.
Массу оболочки определим по формуле
     
Вычислим элемент площади dS:
     
Найдем частные производные и их векторное произведение:
     
Отсюда следует, что . Следовательно, масса оболочки равна
     

Пример 2 Найти массу параболической оболочки, заданной уравнением и имеющей плотность .


Решение.
Воспользуемся формулой
     
Проекция D(x,y) параболической поверхности S на плоскость xy представляет собой круг радиусом 1 с центром в начале координат. Следовательно, можно записать
     
Переходя в подынтегральном выражении к полярным координатам, получаем
     
Сделаем подстановку . Тогда . Здесь u = 1 при r = 0, и при r = 1. Следовательно, интеграл равен
     

  Пример 3 Найти центр масс части сферической оболочки , расположенной в первом октанте и имеющей постоянную плотность μ0.


Решение.
Очевидно, масса данной части сферы (рисунок 3) равна
     
Рис.3
Рис.4
Вычислим момент первого порядка Myz.
     
где проекция D(x,y) поверхности на плоскость xy представляет собой часть круга, лежащую в первом квадранте (рисунок 4).

Поскольку
     
то
     
Отсюда находим выражение для момента первого порядка Myz:
     
Далее удобнее преобразовать интеграл в полярные координаты:
     
Вычислим первый интеграл в квадратных скобках. Сделаем замену: . При r = 0 имеем t = 0, а при r = a, соответственно, . Тогда интеграл будет равен
     
Второй интеграл имеет значение
     
Таким образом, момент первого порядка Myz равен
     
Отсюда находим координату xc центра масс:
     
В силу симметрии, другие координаты имеют то же самое значение.

Итак, координаты центра масс оболочки имеют вид
     

Пример 4 Вычислить момент инерции однородной сферической оболочки x2 + y2 + z2 = 1 (z ≥ 0) с плотностью μ0 относительно оси Oz.


Решение.
Момент инерции Iz находится по формуле:
     
где поверхность S − это полусфера x2 + y2 + z2 = 1 (z ≥ 0).

Поскольку поверхность верхней полусферы описывается функцией , то элемент площади равен
     
Тогда поверхностный интеграл выражается через двойной интеграл в виде
     
где область интегрирования D(x,y) представляет собой круг . Переходя к полярным координатам, получаем FIX
     
Для вычисления последнего интеграла сделаем замену: . Если r = 0, то t = 1. Если r = 1, то, наоборот, t = 0. В результате можно окончательно вычислить момент инерции:

     

Исследовать на конформность в точке z=¥ функцию w=iz-2.

Решение. Во всех точках z¹¥ производная существует и не равна нулю. При z=¥  , w=¥, поэтому, согласно определению, необходимо сделать две замены: , и . В итоге, для исследования на конформность имеем функцию Эта функция в точке z=0 имеет производную не равную нулю.


Решение задач на исследование функции Математический анализ