Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Закон Фарадея Электродвижущая сила наведенная в замкнутом контуре C, равна скорости изменения магнитного потока, проходящего через данный контур (рисунок 3).
Рис.3

Пример 1 Определить массу проволоки, имеющей форму отрезка от точки A(1,1) до B(2,4). Масса распределена вдоль отрезка с плотностью .


Решение.
Составим сначала параметрическое уравнение прямой AB.
     
где параметр t изменяется в интервале [0,1]. Тогда масса проволоки равна
     

Пример 2 Определить массу проволоки, имеющей форму дуги окружности от точки A(1,0) до B(0,1) с плотностью (рисунок 4).


Решение.
Окружность радиусом 1 с центром в начале координат описывается параметрическими уравнениями
     
где параметр t изменяется в диапазоне . Тогда масса данного куска проволоки вычисляется следующим образом:
     
Рис.4
Рис.5

Пример 3 Найти центр масс проволоки, имеющей форму кардиоиды (рисунок 5), где с плотностью ρ = 1.


Решение.
Очевидно, в силу симметрии, . Чтобы найти координату центра масс , достаточно рассмотреть верхнюю половину кардиоиды.

Предварительно найдем полную массу кардиоиды. В полярных координатах получаем
     
Вычислим момент первого порядка My. Используя формулу
     
находим
     
Полагая (нижний и верхний пределы интегрирования становятся равными, соответственно, 0 и ), можно записать
     
Тогда
     
Следовательно, координаты центра масс кардиоиды равны .

Пример 4 Вычислить момент инерции Ix проволоки в форме окружности x2 + y2 = a2 с плотностью ρ = 1.


Решение.
Уравнения окружности в параметрической форме имеют вид
     
Момент инерции Ix относительно оси Ox вычисляется по формуле
     
Проводя вычисления, получаем

     

  Пример 5 Найти работу, совершаемую полем при перемещении тела от начала координат O(0,0) до точки A(1,1) по траектории C, где

1) С − отрезок прямой y = x;
2) С − кривая .


Решение.
1) Вычислим работу при перемещении вдоль прямой y = x.
     
2) Определим теперь работу при перещении вдоль кривой .      

Исследовать на конформность в точке z=¥ функцию w=iz-2.

Решение. Во всех точках z¹¥ производная существует и не равна нулю. При z=¥  , w=¥, поэтому, согласно определению, необходимо сделать две замены: , и . В итоге, для исследования на конформность имеем функцию Эта функция в точке z=0 имеет производную не равную нулю.


Решение задач на исследование функции Математический анализ