Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования

Определения
Криволинейный интеграл второго рода от векторной функции не зависит от пути интегрирования, если P, Q и R являются непрерывными функциями в области интегрирования D и в этой области существует скалярная функция , такая, что
В этом случае криволинейный интеграл второго рода от функции вдоль кривой C от точки A до точки B выражается формулой


Таким образом, если криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, то для любого замкнутого контура C справедливо соотношение
Векторное поле, обладающее свойством , называется потенциальным, а функция называется потенциалом.

Признак потенциальности поля
Криволинейный интеграл II рода от функции не зависит от пути интегрирования, если
Предполагается, что каждый компонент функции имеет непрерывные частные производные по переменным x, y и z.

Если криволинейный интеграл рассматривается в плоскости Oxy, то в случае потенциального поля будет справедливо соотношение
В этом случае признак потенциальности векторного поля упрощается и принимает вид
Рассмотренный признак является необходимым, но, вообще говоря, не достаточным для потенциальности поля. Данное условие достаточно, если только область интегрирования D односвязна.

Пример 1 Вычислить криволинейный интеграл для двух путей интегрирования:
1) AB − отрезок прямой от точки A (0,0) до точки B (1,1);
2) AB − участок параболы от A (0,0) до B (1,1).


Решение.
Рассмотрим первый случай. Очевидно, уравнение прямой имеет вид y = x. Тогда, используя формулу
     
получаем
     
Для случая, когда путь AB является параболой , мы имеем
     
то есть мы получили тот же самый ответ.

Применим признак для проверки поля на потенциальность.
     
Таким образом, векторное поле является потенциальным, что и объясняет независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Пример 2 Показать, что криволинейный интеграл , где точки A, B имеют координаты A (1,2), B (4,5), не зависит от пути интегрирования, и найти значение этого интеграла.


Решение.
Поскольку компоненты векторного поля
     
и их частные производные
     
непрерывны и условие потенциальности поля выполнено, то данное векторное поле потенциально и, следовательно, криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования. Заметим, что
     
то есть потенциал поля равен . Тогда по формуле
     
находим значение интеграла
     

Пример 3 Определить, является ли векторное поле потенциальным?


Решение.
Поскольку P = yz, Q = xz и R = xy, то ротор поля равен
     
Следовательно, поле потенциально.

Пример 4 Определить, является ли векторное поле потенциальным? Если да, то найти его потенциал.


Решение.
Компоненты векторного поля равны . Легко видеть, что
     
Таким образом, данное поле потенциально.

Чтобы найти потенциал, сначала проинтегрируем по отношению к x.
     
Теперь определим C(y), приравнивая производную к Q (x,y).
     
Следовательно, . Тогда
     
где С1 − произвольная постоянная, и потенциал поля имеет вид
     

Пример 5 Определить, является ли потенциальным векторное поле ? Если да, найти его потенциал.


Решение.
В данном случае . Вычислим ротор заданного поля.
     
Следовательно, поле потенциально. Чтобы найти его потенциал, проинтегрируем по переменной x.
     
В последнем выражении переменные y и z рассматривались как константы.

Теперь продифференцируем потенциал u по переменной y и приравняем к Q.
     
Из последней формулы видно, что .

Для определения G (y,z) проинтегрируем последнее соотношение по y и добавим как постоянную функцию H (z).
     
Таким образом, потенциал имеет вид
     
Наконец,
     
Полагая равным , находим
     
Окончательный ответ:
     
где С0

− произвольная постоянная.

Исследовать на конформность функцию в расширенной комплексной области.

Решение. В точках отличных от i и ¥ конформность следует из существования производной и не равенству её нулю.

В точке z=i значение функции w=¥, поэтому для исследования в этой точке нужно рассмотреть функцию   в точке z=i, (см. таблицу п. 3 ). Конформность следует из существования производной и не равенства её нулю при z=i.

В точке z=¥ w=1, поэтому для исследования на конформность в этой точке следует «бесконечность в аргументе» перевести предварительно в 0 (или, что то же заменить ¥ на 0 с помощью замены переменного ). Таким образом, для исследования берётся функция   в точке 0, которая в этой точке имеет производную, отличную от нуля.


Решение задач на исследование функции Математический анализ