Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования

Определения
Криволинейный интеграл второго рода от векторной функции не зависит от пути интегрирования, если P, Q и R являются непрерывными функциями в области интегрирования D и в этой области существует скалярная функция , такая, что
В этом случае криволинейный интеграл второго рода от функции вдоль кривой C от точки A до точки B выражается формулой


Таким образом, если криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, то для любого замкнутого контура C справедливо соотношение
Векторное поле, обладающее свойством , называется потенциальным, а функция называется потенциалом.

Признак потенциальности поля
Криволинейный интеграл II рода от функции не зависит от пути интегрирования, если
Предполагается, что каждый компонент функции имеет непрерывные частные производные по переменным x, y и z.

Если криволинейный интеграл рассматривается в плоскости Oxy, то в случае потенциального поля будет справедливо соотношение
В этом случае признак потенциальности векторного поля упрощается и принимает вид
Рассмотренный признак является необходимым, но, вообще говоря, не достаточным для потенциальности поля. Данное условие достаточно, если только область интегрирования D односвязна.

Пример 1 Вычислить криволинейный интеграл для двух путей интегрирования:
1) AB − отрезок прямой от точки A (0,0) до точки B (1,1);
2) AB − участок параболы от A (0,0) до B (1,1).


Решение.
Рассмотрим первый случай. Очевидно, уравнение прямой имеет вид y = x. Тогда, используя формулу
     
получаем
     
Для случая, когда путь AB является параболой , мы имеем
     
то есть мы получили тот же самый ответ.

Применим признак для проверки поля на потенциальность.
     
Таким образом, векторное поле является потенциальным, что и объясняет независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Пример 2 Показать, что криволинейный интеграл , где точки A, B имеют координаты A (1,2), B (4,5), не зависит от пути интегрирования, и найти значение этого интеграла.


Решение.
Поскольку компоненты векторного поля
     
и их частные производные
     
непрерывны и условие потенциальности поля выполнено, то данное векторное поле потенциально и, следовательно, криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования. Заметим, что
     
то есть потенциал поля равен . Тогда по формуле
     
находим значение интеграла
     

Пример 3 Определить, является ли векторное поле потенциальным?


Решение.
Поскольку P = yz, Q = xz и R = xy, то ротор поля равен
     
Следовательно, поле потенциально.

Пример 4 Определить, является ли векторное поле потенциальным? Если да, то найти его потенциал.


Решение.
Компоненты векторного поля равны . Легко видеть, что
     
Таким образом, данное поле потенциально.

Чтобы найти потенциал, сначала проинтегрируем по отношению к x.
     
Теперь определим C(y), приравнивая производную к Q (x,y).
     
Следовательно, . Тогда
     
где С1 − произвольная постоянная, и потенциал поля имеет вид
     

Пример 5 Определить, является ли потенциальным векторное поле ? Если да, найти его потенциал.


Решение.
В данном случае . Вычислим ротор заданного поля.
     
Следовательно, поле потенциально. Чтобы найти его потенциал, проинтегрируем по переменной x.
     
В последнем выражении переменные y и z рассматривались как константы.

Теперь продифференцируем потенциал u по переменной y и приравняем к Q.
     
Из последней формулы видно, что .

Для определения G (y,z) проинтегрируем последнее соотношение по y и добавим как постоянную функцию H (z).
     
Таким образом, потенциал имеет вид
     
Наконец,
     
Полагая равным , находим
     
Окончательный ответ:
     
где С0

− произвольная постоянная.

Исследовать на конформность функцию в расширенной комплексной области.

Решение. В точках отличных от i и ¥ конформность следует из существования производной и не равенству её нулю.

В точке z=i значение функции w=¥, поэтому для исследования в этой точке нужно рассмотреть функцию   в точке z=i, (см. таблицу п. 3 ). Конформность следует из существования производной и не равенства её нулю при z=i.

В точке z=¥ w=1, поэтому для исследования на конформность в этой точке следует «бесконечность в аргументе» перевести предварительно в 0 (или, что то же заменить ¥ на 0 с помощью замены переменного ). Таким образом, для исследования берётся функция   в точке 0, которая в этой точке имеет производную, отличную от нуля.


Решение задач на исследование функции Математический анализ