Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математический анализ Интеграл Ряды Метод замены переменной Вычислить двойной интеграл Вычислить двойной интеграл криволинейный интеграл поверхностный интеграл Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Смешанное произведение векторов

Смешанным, или векторно-скалярным произведением трех векторов (обозначается ) называется произведение вида .

Пусть известны координаты векторов: , , . Векторное произведение векторов и – это вектор с координатами

.

Скалярное произведение вектора  на вектор :

Таким образом,

. (2.11)

Нетрудно показать, что . 

Отложим данные некомпланарные векторы , ,  от общего начала и построим на них как на ребрах параллелепипед (рис. 18).

 

Рис. 18

По определению скалярного произведения   , где – угол между векторами  и . Но  – площадь параллелограмма, построенного на векторах  и , а , где  – высота параллелепипеда. Таким образом, .

Смешанное произведение трех векторов с точностью до знака равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах. Можно записать: .

Объем тетраэдра, построенного на векторах , ,  (рис. 19) равен .

Рис. 19

Заметим, что если векторы , , образуют правую тройку, то  и` , а если левую, то  и .

Теорема. Для того чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы , ,  компланарны. Можно считать, что они лежат в одной плоскости. Тогда вектор  перпендикулярен этой плоскости, следовательно, ,

а значит, их скалярное произведение равно нулю, то есть .

Достаточность. Пусть . Предположим, что векторы некомпланарны. Но тогда существует параллелепипед, построенный на этих векторах, объем которого , а это противоречит условию . Следовательно, предположение неверно, и векторы компланарны.

Пример 10. Доказать, что точки , ,  и  лежат в одной плоскости.

Решение. Достаточно показать, что векторы ,  и компланарны, то есть их смешанное произведение равно нулю. , , ;

.

Пример 11. Найти объем тетраэдра, построенного на векторах , , . Правой или левой является тройка векторов , , ?

Решение. Найдем смешанное произведение этих векторов:

.

, значит, векторы образуют левую тройку; .

 

Прямая на плоскости

Пусть  – заданная точка на прямой ,  – вектор, перпендикулярный прямой , его называют нормальным вектором прямой, и пусть  – произвольная точка прямой  (рис. 20). Тогда , , то есть

.  (2.12)

(2.12) – уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

 

Рис. 20

Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые в (2.12), получим . Обозначим , уравнение примет вид

.  (2.13)

(2.13) – общее уравнение прямой на плоскости.

Если в уравнении (2.13) , , , то, перенеся слагаемое С в правую часть и разделив на него обе части уравнения, получим

, или . Обозначим , , тогда уравнение примет вид

 (2.14)

(2.14) – уравнение прямой в отрезках, здесь a и b – отрезки, отсекаемые прямой на осях координат (рис. 21): из уравнения (2.13) при  получим , а при   .

 

Рис. 21

Пусть  – заданная точка на прямой ,  – вектор, параллельный прямой, его называют направляющим вектором прямой, и пусть – произвольная точка прямой  (рис. 22). Тогда

  ,

. (2.15)

(2.15) – каноническое уравнение прямой, или уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.

 

Рис. 22

В частности, если прямая  параллельна оси , то ее направляющий вектор , и каноническое уравнение имеет вид , или . Если , то , и каноническое уравнение прямой , или .

Если в уравнении (2.15) величину отношения положить равной  
( – параметр, переменная величина, ):

, , то, выразив  и  из уравнений, получим

, .  (2.16)

(2.16) – параметрические уравнения прямой.

Пусть на прямой  заданы две точки  и . Тогда вектор  является направляющим вектором прямой и, используя уравнение (2.15), можно записать

. (2.17)

(2.17) – уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Пусть – заданная точка на прямой ,  – угол наклона прямой к оси ,  (рис. 23). В качестве направляющего вектора прямой  возьмем единичный вектор . Координаты единичного вектора совпадают с его направляющими косинусами, поэтому , но . Используя уравнение (2.15), получим , или . Обозначив  ( – угловой коэффициент прямой), получим уравнение

.  (2.18)

 

Рис. 23

Выразив из (2.18) :  и обозначив , получим

.  (2.19)

(2.18), (2.19) – уравнения прямой с угловым коэффициентом. В уравнении (2.19)  – ордината точки пересечения прямой с осью .

Вычислить интеграл где n- целое и С – окружность |z|=r, проходимая в положительном направлении.

Решение. Воспользуемся разложением в ряд Лорана.

. Равенство k-n=1 Будет выполнено при n³ -1. Для этих значений параметра . Для остальных значений параметра n интеграл I=0.


Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания Решение задач на вычисление интеграла