Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Теорема Остроградского-Гаусса

Обозначим через G трехмерное тело, ограниченное кусочно-непрерывной, гладкой, замкнутой поверхностью S с внешней нормалью. Предположим, что задано векторное поле

компоненты которого имеют непрерывные частные производные.

Согласно формуле Остроградского-Гаусса,
где через
обозначена дивергенция векторного поля (она обозначается также символом ). Символ указывает, что поверхностный интеграл вычисляется по замкнутой поверхности.

Формула Остроградского-Гаусса связывает поверхностные интегралы второго рода с соответствующими тройными интегралами.

Данную формулу можно записать также в координатной форме:
В частном случае, полагая , получаем формулу для вычисления объема тела G:

Пример 1 Вычислить поверхностный интеграл , где S − внешне ориентированная поверхность сферы, заданная уравнением .


Решение.
Используя формулу Остроградского-Гаусса, можно записать
     
Вычислим полученный тройной интеграл в сферических интегралах.
     

Пример 2 Применяя теорему Остроградского-Гаусса, вычислить поверхностный интеграл от векторного поля , где S − поверхность тела, образованного цилиндром и плоскостями z = −1, z = 1 (рисунок 1).


Решение.
В соответствии с формулой Остроградского-Гаусса,
     
Вычисляя в цилиндрических координатах, получаем ответ:
     
Рис.1
Рис.2

Пример 3 Используя формулу Остроградского-Гаусса, оценить поверхностный интеграл от векторного поля , где S − поверхность тела, ограниченного и плоскостью z = 1.


Решение.
Данное тело схематически изображено на рисунке 2. Применяя теорему Остроградского-Гаусса, можно записать
     
Переходя к цилиндрическим координатам, получаем
     

Пример 4 Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля , где S является поверхностью тетраэдра с вершинами O (0,0,0), A (1,0,0), B (0,1,0), C (0,0,1) (рисунок 3).


Решение.
По формуле Остроградского-Гаусса,
     
Вычислим полученный тройной интеграл. Уравнение прямой AB имеет вид
     
А уравнение плоскости ABC равно
     
Находим значение интеграла:
     
Рис.3
Рис.4

Пример 5 Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля , где S − поверхность параллелепипеда, образованного плоскостями x = 0, x = 1, y = 0, y = 2, z = 0, z = 3 (рисунок 4).


Решение.
Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса:
     

Пример 6 Найти интеграл , где S − внешняя поверхность пирамиды (рисунок 5).


Решение.
Рис.5
Рис.6
Применяя формулу Остроградского-Гаусса можно записать искомый поверхностный интеграл в виде
     
Вычислим тройной интеграл. Область интегрирования в плоскости xy показана на рисунке 6. Полагая z = 0, получаем
     
Следовательно, область D можно представить в виде множества
     
Решая неравенство относительно переменной z, получаем
     
Тогда интеграл равен

Исследовать на конформность функцию в расширенной комплексной области.

Решение. В точках отличных от i и ¥ конформность следует из существования производной и не равенству её нулю.

В точке z=i значение функции w=¥, поэтому для исследования в этой точке нужно рассмотреть функцию   в точке z=i, (см. таблицу п. 3 ). Конформность следует из существования производной и не равенства её нулю при z=i.

В точке z=¥ w=1, поэтому для исследования на конформность в этой точке следует «бесконечность в аргументе» перевести предварительно в 0 (или, что то же заменить ¥ на 0 с помощью замены переменного ). Таким образом, для исследования берётся функция   в точке 0, которая в этой точке имеет производную, отличную от нуля.


Решение задач на исследование функции Математический анализ