Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Криволинейные интегралы второго рода

Определение
Предположим, что кривая C задана векторной функцией , где переменная s − длина дуги кривой. Тогда производная векторной функции
представляет собой единичный вектор, направленный вдоль касательной к данной кривой (рисунок 1).

В приведенной выше формуле α, β и γ − углы между касательной и положительными направлениями осей Ox, Oy и Oz, соответственно.
Рис.1
Рис.2
Введем векторную функцию , определенную на кривой C, так, чтобы для скалярной функции
существовал криволинейный интеграл . Такой интеграл называется криволинейным интегралом второго рода от векторной функции вдоль кривой C и обозначается как
Таким образом, по определению,
где − единичный вектор касательной к кривой C.

Последнюю формулу можно переписать также в векторной форме:
где .

Если кривая C лежит в плоскости Oxy, то полагая R = 0, получаем
Свойства криволинейного интеграла второго рода
Криволинейный интеграл II рода обладает следующими свойствами:
  1. Пусть C обозначает кривую с началом в точке A и конечной точкой B. Обозначим через −C кривую противоположного направления - от B к A. Тогда
  2. Если C − объединение кривых C1 и C2 (рисунок 2 выше), то
  3. Если кривая C задана параметрически в виде , то
  4. Если кривая C лежит в плоскости Oxy и задана уравнением (предполагается, что R =0 и t = x), то последняя формула записывается в виде

 

Пример 1 Вычислить интеграл , где кривая C задана параметрически в виде .


Решение.
Используя формулу
     
находим ответ:

     

Пример 2 Найти интеграл вдоль кривой C, заданной уравнением , от точки (0,0) до (2,8).


Решение.
Для вычисления данного криволинейного интеграла воспользуемся формулой
     
Подставляя и в подынтегральное выражение, получаем
     

Пример 3 Вычислить вдоль кривой от точки O (0,0) до A (1,1) (рисунок 3 ниже).


Решение.
Используем формулу
     
Подставляя и в подынтегральное выражение, находим ответ:
     

Пример 4 Вычислить вдоль кривой от точки O (0,0) до A (1,1) (рисунок 3).


Решение.
Если , то по формуле
     
получаем
     
Рис.3
Рис.4

 

Пример 5 Вычислить криволинейный интеграл вдоль кривой в интервале (рисунок 4).


Решение.
Поскольку , то дифференциал равен . В соответствии с формулой
     
находим решение
     

Пример 6 Вычислить криволинейный интеграл , где C − дуга окружности, лежащая в первом квадранте, обход которой осуществляется против часовой стрелки (рисунок 5).


Решение.
Очевидно, что дуга окружности описывается функцией , a − радиус окружности. (Мы взяли положительное значение корня, поскольку y > 0 в первом квадранте.) Тогда дифференциал равен
     
Поскольку мы обходим кривую в направлении против часовой стрелки, то верхний и нижний пределы интегрирования равны, соответственно, a и 0. Следовательно,
     
Рис.5
Рис.6

 

Пример 7 Вычислить криволинейный интеграл , где C − дуга эллипса (рисунок 6), заданного параметрически в виде .


Решение.
Запишем все выражения через параметр t:
     
Далее, используя формулу
     
можно записать
     

Пример 8 Найти интеграл вдоль линии C, представляющей собой отрезок прямой от точки A (1,1,1) до точки B (2,3,4) (рисунок 7).


Решение.
Сначала составим уравнение прямой AB.
     
Введем параметр t:
     
и перепишем уравнение прямой в параметрической форме:
     
Далее применяем формулу
     
Очевидно, что параметр t изменяется в интервале [0,1]. Тогда криволинейный интеграл равен
     
Рис.7

Исследовать на конформность функцию в расширенной комплексной области.

Решение. В точках отличных от i и ¥ конформность следует из существования производной и не равенству её нулю.

В точке z=i значение функции w=¥, поэтому для исследования в этой точке нужно рассмотреть функцию   в точке z=i, (см. таблицу п. 3 ). Конформность следует из существования производной и не равенства её нулю при z=i.

В точке z=¥ w=1, поэтому для исследования на конформность в этой точке следует «бесконечность в аргументе» перевести предварительно в 0 (или, что то же заменить ¥ на 0 с помощью замены переменного ). Таким образом, для исследования берётся функция   в точке 0, которая в этой точке имеет производную, отличную от нуля.


На http://www.dial-master.ru пластиковые окна цены в щелково.
Решение задач на исследование функции Математический анализ