Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Криволинейные интегралы второго рода

Определение
Предположим, что кривая C задана векторной функцией , где переменная s − длина дуги кривой. Тогда производная векторной функции
представляет собой единичный вектор, направленный вдоль касательной к данной кривой (рисунок 1).

В приведенной выше формуле α, β и γ − углы между касательной и положительными направлениями осей Ox, Oy и Oz, соответственно.
Рис.1
Рис.2
Введем векторную функцию , определенную на кривой C, так, чтобы для скалярной функции
существовал криволинейный интеграл . Такой интеграл называется криволинейным интегралом второго рода от векторной функции вдоль кривой C и обозначается как
Таким образом, по определению,
где − единичный вектор касательной к кривой C.

Последнюю формулу можно переписать также в векторной форме:
где .

Если кривая C лежит в плоскости Oxy, то полагая R = 0, получаем
Свойства криволинейного интеграла второго рода
Криволинейный интеграл II рода обладает следующими свойствами:
  1. Пусть C обозначает кривую с началом в точке A и конечной точкой B. Обозначим через −C кривую противоположного направления - от B к A. Тогда
  2. Если C − объединение кривых C1 и C2 (рисунок 2 выше), то
  3. Если кривая C задана параметрически в виде , то
  4. Если кривая C лежит в плоскости Oxy и задана уравнением (предполагается, что R =0 и t = x), то последняя формула записывается в виде

 

Пример 1 Вычислить интеграл , где кривая C задана параметрически в виде .


Решение.
Используя формулу
     
находим ответ:

     

Пример 2 Найти интеграл вдоль кривой C, заданной уравнением , от точки (0,0) до (2,8).


Решение.
Для вычисления данного криволинейного интеграла воспользуемся формулой
     
Подставляя и в подынтегральное выражение, получаем
     

Пример 3 Вычислить вдоль кривой от точки O (0,0) до A (1,1) (рисунок 3 ниже).


Решение.
Используем формулу
     
Подставляя и в подынтегральное выражение, находим ответ:
     

Пример 4 Вычислить вдоль кривой от точки O (0,0) до A (1,1) (рисунок 3).


Решение.
Если , то по формуле
     
получаем
     
Рис.3
Рис.4

 

Пример 5 Вычислить криволинейный интеграл вдоль кривой в интервале (рисунок 4).


Решение.
Поскольку , то дифференциал равен . В соответствии с формулой
     
находим решение
     

Пример 6 Вычислить криволинейный интеграл , где C − дуга окружности, лежащая в первом квадранте, обход которой осуществляется против часовой стрелки (рисунок 5).


Решение.
Очевидно, что дуга окружности описывается функцией , a − радиус окружности. (Мы взяли положительное значение корня, поскольку y > 0 в первом квадранте.) Тогда дифференциал равен
     
Поскольку мы обходим кривую в направлении против часовой стрелки, то верхний и нижний пределы интегрирования равны, соответственно, a и 0. Следовательно,
     
Рис.5
Рис.6

 

Пример 7 Вычислить криволинейный интеграл , где C − дуга эллипса (рисунок 6), заданного параметрически в виде .


Решение.
Запишем все выражения через параметр t:
     
Далее, используя формулу
     
можно записать
     

Пример 8 Найти интеграл вдоль линии C, представляющей собой отрезок прямой от точки A (1,1,1) до точки B (2,3,4) (рисунок 7).


Решение.
Сначала составим уравнение прямой AB.
     
Введем параметр t:
     
и перепишем уравнение прямой в параметрической форме:
     
Далее применяем формулу
     
Очевидно, что параметр t изменяется в интервале [0,1]. Тогда криволинейный интеграл равен
     
Рис.7

Исследовать на конформность функцию в расширенной комплексной области.

Решение. В точках отличных от i и ¥ конформность следует из существования производной и не равенству её нулю.

В точке z=i значение функции w=¥, поэтому для исследования в этой точке нужно рассмотреть функцию   в точке z=i, (см. таблицу п. 3 ). Конформность следует из существования производной и не равенства её нулю при z=i.

В точке z=¥ w=1, поэтому для исследования на конформность в этой точке следует «бесконечность в аргументе» перевести предварительно в 0 (или, что то же заменить ¥ на 0 с помощью замены переменного ). Таким образом, для исследования берётся функция   в точке 0, которая в этой точке имеет производную, отличную от нуля.


Решение задач на исследование функции Математический анализ