Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Криволинейные интегралы первого рода

Определение
Пусть кривая C описывается векторной функцией , где переменная s представляет собой длину дуги кривой (рисунок 1).

Если на кривой C определена скалярная функция F, то интеграл называется криволинейным интегралом первого рода от скалярной функции F вдоль кривой C и обозначается как
Криволинейный интеграл существует, если функция F непрерывна на кривой C.
Рис.1
Рис.2
Свойства криволинейного интеграла первого рода
Криволинейный интеграл I рода обладает следующими свойствами:
  1. Интеграл не зависит от ориентации кривой;

  2. Пусть кривая C1 начинается в точке A и заканчивается в точке B, а кривая C2 начинается в точке B и заканчивается в точке D (рисунок 2). Тогда их объединением будет называться кривая C1 U C2, которая проходит от A к B вдоль кривой C1 и затем от B к D вдоль кривой C2. Для криволинейных интегралов первого рода справедливо соотношение
  3. Если гладкая кривая C задана параметрически соотношением и скалярная функция F непрерывна на кривой C, то
  4. Если C является гладкой кривой в плоскости Oxy, заданной уравнением , то
  5. Если гладкая кривая C в плоскости Oxy определена уравнением , то
  6. В полярных координатах интеграл выражается формулой
    где кривая C задана в полярных координатах функцией .

Пример 1 Найти интеграл вдоль отрезка прямой y = x от начала координат до точки (2,2) (рисунок 3).


Решение.
     
Рис.3
Рис.4

 

Пример 2 Вычислить интеграл , где C − дуга окружности .


Решение.
Запишем дифференциал дуги кривой:
     
Тогда, применяя формулу
     
в плоскости Oxy, получаем

     

Пример 3 Вычислить интеграл , где C − кривая, заданная уравнением .


Решение.
Используем формулу
     
Здесь
     
Следовательно,
     

   Пример 4 Вычислить интеграл , где C является отрезком прямой от точки O(0,0) до A(1,2) (рисунок 4 выше).


Решение.
Найдем сначала уравнение отрезка OA.
     
Применяя формулу
     
находим искомый криволинейный интеграл.

     

Пример 5 Вычислить интеграл , где кривая C задана параметрически в виде .


Решение.
Применяя формулу
     
можно записать
     

Пример 6 Вычислить криволинейный интеграл , где кривая C − отрезок прямой от точки (0,−2) до (4,0) (рисунок 5).


Решение.
Найдем уравнение отрезка AB.
     
По формуле
     
находим данный интеграл
     
Рис.5
Рис.6

 

Пример 7 Найти криволинейный интеграл , где кривая C является дугой эллипса , лежащей в первом квадранте (рисунок 6).


Решение.
Запишем уравнение эллипса в параметрической форме.
     
Диапазон изменений t для первого квадранта равен . Следовательно, по формуле
     
заданный интеграл преобразуется следующим образом
     
Сделаем замену. Положим . Тогда
     
Уточним пределы интегрирования. Если t = 0, то u = 0, а при получаем u = a. В результате интеграл становится равным
     
Для вычисления полученного интеграла удобно сделать еще одну замену переменной.
     
Если u = 0, то , и соответственно, если u = a, то . Таким образом,
     

 

Исследовать на конформность функцию в расширенной комплексной области.

Решение. В точках отличных от i и ¥ конформность следует из существования производной и не равенству её нулю.

В точке z=i значение функции w=¥, поэтому для исследования в этой точке нужно рассмотреть функцию   в точке z=i, (см. таблицу п. 3 ). Конформность следует из существования производной и не равенства её нулю при z=i.

В точке z=¥ w=1, поэтому для исследования на конформность в этой точке следует «бесконечность в аргументе» перевести предварительно в 0 (или, что то же заменить ¥ на 0 с помощью замены переменного ). Таким образом, для исследования берётся функция   в точке 0, которая в этой точке имеет производную, отличную от нуля.


Решение задач на исследование функции Математический анализ