Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Повторные интегралы

Области интегрирования I и II типа
Двойные интегралы вычисляются, как правило, с помощью повторных интегралов. Однако переход от двойных к повторным интегралам возможен не для произвольной области интегрирования R, а для областей определенного типа. Введем понятия областей интегрирования типа I и II.

Определение 1. Говорят, что область R на плоскости относится к типу I или является элементарной относительно оси Oy, если она лежит между графиками двух непрерывных функций, зависящих от x (рисунок 1), и описывается множеством:
Определение 2. Говорят, что область R на плоскости относится к типу II или является элементарной относительно оси Ox, если она лежит между графиками двух непрерывных функций, зависящих от y (рисунок 2), и описывается множеством:
Рис.1
Рис.2
Связь между двойными и повторными интегралами
Пусть f (x,y) является непрерывной функцией в области R типа I:
Тогда двойной интеграл от функции f (x,y) в данной области выражается через повторный интеграл в виде
Для области интегрирования типа II существует аналогичная формула. Если f (x,y) является непрерывной функцией в области R типа II:
то справедливо соотношение
Приведенные формулы (в англоязычной литературе они известны как теорема Фубини) позволяют вычислять двойные интегралы через повторные. В повторных интегралах сначала находится внутренний интеграл, а затем - внешний.

Пример 1 Найти повторный интеграл .


Решение.
Сначала вычислим внутренний интеграл и затем внешний.

     

Пример 2 Найти повторный интеграл .


Решение.
Здесь область интегрирования относится к типу II (является элементарной относительно оси Ox). Вычисляя сначала внутренний интеграл по x, и затем внешний по y, получаем
     

Пример 3 Вычислить .


Решение.
Запишем повторный интеграл в виде
     
Чтобы найти внутренний интеграл в квадратных скобках, сделаем замену:
     
Если , то , и, соответственно, если , то . Тогда
     

Пример 4 Вычислить .


Решение.
Вычисляя внутренний интеграл, получаем
     
Далее используем интегрирование по частям: . Пусть . Тогда
     
Подставляя это, получаем
     
Наконец вычислим последний интеграл:
     
Окончательный ответ:
     

Пример 5 Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .


Решение.
Область интегрирования относится к типу I (рисунок 3). Она представляет собой треугольник, ограниченный прямыми или и или . Переменная x изменяется в интервале . Изменяя порядок интегрирования, исходный интеграл можно записать в виде суммы следующих двух повторных интегралов:
     
Рис.3

Исследовать на конформность функцию в расширенной комплексной области.

Решение. В точках отличных от i и ¥ конформность следует из существования производной и не равенству её нулю.

В точке z=i значение функции w=¥, поэтому для исследования в этой точке нужно рассмотреть функцию   в точке z=i, (см. таблицу п. 3 ). Конформность следует из существования производной и не равенства её нулю при z=i.

В точке z=¥ w=1, поэтому для исследования на конформность в этой точке следует «бесконечность в аргументе» перевести предварительно в 0 (или, что то же заменить ¥ на 0 с помощью замены переменного ). Таким образом, для исследования берётся функция   в точке 0, которая в этой точке имеет производную, отличную от нуля.


Решение задач на исследование функции Математический анализ