Повторные интегралы

Области интегрирования I и II типа

Двойные интегралы вычисляются, как правило, с помощью повторных интегралов. Однако переход от двойных к повторным интегралам возможен не для произвольной области интегрирования R, а для областей определенного типа. Введем понятия областей интегрирования типа I и II.

Определение 1. Говорят, что область R на плоскости относится к типу I или является элементарной относительно оси Oy, если она лежит между графиками двух непрерывных функций, зависящих от x (рисунок 1), и описывается множеством:

Определение 2. Говорят, что область R на плоскости относится к типу II или является элементарной относительно оси Ox, если она лежит между графиками двух непрерывных функций, зависящих от y (рисунок 2), и описывается множеством:

Рис.1		Рис.2

Связь между двойными и повторными интегралами

Пусть f (x,y) является непрерывной функцией в области R типа I:

Тогда двойной интеграл от функции f (x,y) в данной области выражается через повторный интеграл в виде

Для области интегрирования типа II существует аналогичная формула. Если f (x,y) является непрерывной функцией в области R типа II:

то справедливо соотношение

Приведенные формулы (в англоязычной литературе они известны как теорема Фубини) позволяют вычислять двойные интегралы через повторные. В повторных интегралах сначала находится внутренний интеграл, а затем - внешний.

Пример 1 Найти повторный интеграл .

Решение.

Сначала вычислим внутренний интеграл и затем внешний.

     

Пример 2 Найти повторный интеграл .

Решение.

Здесь область интегрирования относится к типу II (является элементарной относительно оси Ox). Вычисляя сначала внутренний интеграл по x, и затем внешний по y, получаем

     

Пример 3 Вычислить .

Решение.

Запишем повторный интеграл в виде

     

Чтобы найти внутренний интеграл в квадратных скобках, сделаем замену:

     

Если , то , и, соответственно, если , то . Тогда

     

Пример 4 Вычислить .

Решение.

Вычисляя внутренний интеграл, получаем

     

Далее используем интегрирование по частям: . Пусть . Тогда

     

Подставляя это, получаем

     

Наконец вычислим последний интеграл:

     

Окончательный ответ:

     

Пример 5 Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .

Решение.

Область интегрирования относится к типу I (рисунок 3). Она представляет собой треугольник, ограниченный прямыми или и или . Переменная x изменяется в интервале . Изменяя порядок интегрирования, исходный интеграл можно записать в виде суммы следующих двух повторных интегралов:

     

Рис.3

Исследовать на конформность функцию в расширенной комплексной области.

Решение. В точках отличных от i и ¥ конформность следует из существования производной и не равенству её нулю.

В точке z=i значение функции w=¥, поэтому для исследования в этой точке нужно рассмотреть функцию   в точке z=i, (см. таблицу п. 3 ). Конформность следует из существования производной и не равенства её нулю при z=i.

В точке z=¥ w=1, поэтому для исследования на конформность в этой точке следует «бесконечность в аргументе» перевести предварительно в 0 (или, что то же заменить ¥ на 0 с помощью замены переменного ). Таким образом, для исследования берётся функция   в точке 0, которая в этой точке имеет производную, отличную от нуля.