Алгебра | |||
Задачи | |||
Физика | |||
Реактор | |||
Повторные интегралы
Области интегрирования I и II типаДвойные интегралы вычисляются, как правило, с помощью повторных интегралов. Однако переход от двойных к повторным интегралам возможен не для произвольной области интегрирования R, а для областей определенного типа. Введем понятия областей интегрирования типа I и II.
Определение 1. Говорят, что область R на плоскости относится к типу I или является элементарной относительно оси Oy, если она лежит между графиками двух непрерывных функций, зависящих от x(рисунок 1), и описывается множеством:Определение 2. Говорят, что область R на плоскости относится к типу II или является элементарной относительно оси Ox, если она лежит между графиками двух непрерывных функций, зависящих от y![]()
(рисунок 2), и описывается множеством:![]()
Рис.1 Рис.2Связь между двойными и повторными интеграламиПустьf (x,y) является непрерывной функцией в области R типа I:Тогда двойной интеграл от функции![]()
f (x,y) в данной области выражается через повторный интеграл в видеДля области интегрирования типа II существует аналогичная формула. Если![]()
f (x,y) является непрерывной функцией в области R типа II:то справедливо соотношение
Приведенные формулы (в англоязычной литературе они известны как теорема Фубини) позволяют вычислять двойные интегралы через повторные. В повторных интегралах сначала находится внутренний интеграл, а затем - внешний.![]()
Пример 1 Найти повторный интеграл
.
Сначала вычислим внутренний интеграл и затем внешний.
Решение.
![]()
Пример 2 Найти повторный интеграл
.
Здесь область интегрирования относится к типу II (является элементарной относительно оси Ox). Вычисляя сначала внутренний интеграл по x, и затем внешний по y, получаем
Решение.![]()
Пример 3 Вычислить
.
Запишем повторный интеграл в виде
Решение.Чтобы найти внутренний интеграл в квадратных скобках, сделаем замену:
Если![]()
, то
, и, соответственно, если
, то
. Тогда
![]()
Пример 4 Вычислить
.
Вычисляя внутренний интеграл, получаем
Решение.Далее используем интегрирование по частям:![]()
. Пусть
. Тогда
Подставляя это, получаем
Наконец вычислим последний интеграл:
Окончательный ответ:![]()
![]()
Пример 5 Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
.
Область интегрирования относится к типу I (рисунок 3). Она представляет собой треугольник, ограниченный прямыми
Решение.или
и
или
. Переменная x изменяется в интервале
. Изменяя порядок интегрирования, исходный интеграл можно записать в виде суммы следующих двух повторных интегралов:
![]()
Рис.3
Исследовать на конформность функцию в
расширенной комплексной области.
Решение. В точках отличных от i и ¥ конформность следует из существования производной и не равенству её нулю.
В
точке z=i значение функции w=¥,
поэтому для исследования в этой точке нужно рассмотреть функцию
в точке z=i, (см. таблицу п. 3 ). Конформность следует из существования
производной и не равенства её нулю при z=i.
В
точке z=¥ w=1, поэтому
для исследования на конформность в этой точке следует «бесконечность в аргументе»
перевести предварительно в 0 (или, что то же заменить ¥
на 0 с помощью замены переменного ).
Таким образом, для исследования берётся функция
в точке 0, которая в этой точке имеет производную, отличную от нуля.
|