Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций

В данном разделе мы рассмотрим 8 специальных классов интегралов от тригонометрических функций. Для каждого класса применяются определенные преобразования и подстановки, позволяющие получить аналитическое решение.

1. Интегралы вида
Для решения данных интегралов применяются формулы преобразования произведения тригонометрические функций в сумму или разность:
2. Интегралы вида
Здесь и везде ниже предполагается, что m и n - натуральные числа. Для вычисления таких интегралов используются следующие подстановки и преобразования:
  1. Если степень косинуса n - нечетная (при этом степень синуса m может быть любой), то используется подстановка .


  2. Если степень синуса m - нечетная, то используется подстановка .


  3. Если степени m и n - четные, то сначала применяются формулы двойного угла
    чтобы понизить синуса или косинуса в подынтегральном выражении. Затем, если необходимо, применяются правила a) или b).

3. Интегралы вида
Степень подынтегрального выражения в данном интеграле можно понизить с помошью тригонометрического соотношения и формулы редукции
4. Интегралы вида
Здесь степень подынтегрального выражения понижается с помошью соотношения и формулы редукции
5. Интегралы вида
Данный тип интеграла упрощается с помощью следующей формулы редукции:
6. Интегралы вида
Аналогично предыдущим пунктам, интеграл упрощается с помощью формулы
7. Интегралы вида
  1. Если степень секанса n - четная, то c помошью соотношения секанс выражается через тангенс. При этом множитель отделяется и используется для преобразования дифференциала. В результате весь интеграл (включая дифференциал) выражается через функцию tg x.


  2. Если обе степени n и m - нечетные, то отделяется множитель sec x tg x, необходимый для преобразования дифференциала. Далее весь интеграл выражается через sec x.


  3. Если степень секанса n - нечетная, а степень тангенса m - четная, то тангенс выражается через секанс с помощью формулы . Затем вычисляются интегралы от секанса.

8. Интегралы вида
  1. Если степень косеканса n - четная, то c помошью соотношения косеканс выражается через котангенс. При этом множитель отделяется и используется для преобразования дифференциала. В результате подынтегральная функция и дифференциал выражаются через ctg x.


  2. Если обе степени n и m - нечетные, то отделяется множитель ctg x cosec x, необходимый для преобразования дифференциала. Далее интеграл выражается через cosec x.


  3. Если степень косеканса n - нечетная, а степень котангенса m - четная, то котангенс выражается через косеканс с помощью формулы . Далее вычисляются интегралы от косеканса.

Пример 1 Вычислить интеграл .


Решение.
Пусть u = cos x, du = − sin xdx. Тогда
     

Пример 2 Вычислить .


Решение.
Делая замену u = sin x, du = cos xdx и используя соотношение , получаем

     

Пример 3 Вычислить интеграл .


Решение.
Применив соотношения и , можно записать
     
Вычислим интегралы в полученном выражении.
     
Чтобы найти интеграл , сделаем замену u = sin 2x, du = 2cos 2xdx. Тогда
     
Следовательно, исходный интеграл равен
     

Пример 4 Найти интеграл .


Решение.
Перепишем интеграл в виде
     
Преобразуем подынтегральное выражение с помощью соотношений
     
Получаем
     

  Пример 5 Найти интеграл .


Решение.
Делая замену u = cos x, du = − sin xdx и выражая синус через косинус с помощью формулы , получаем
     

Пример 6 Вычислить интеграл .


Решение.
Преобразуем подынтегральное соотношение по формуле
     
Следовательно,
     
Тогда интеграл равен
     

Пример 7 Вычислить интеграл .


Решение.
Используем для преобразования интеграла соотношение . Получаем
     

Пример 8 Вычислить интеграл .


Решение.
Используя соотношение , находим
     

Пример 9 Вычислить .


Решение.
Используем формулу редукции
     
Следовательно,
     
Интеграл является табличным и равен . (Он легко вычисляется с помощью универсальной тригонометрической подстановки .) В результате интеграл равен
     

Пример 10 Вычислить интеграл .


Решение.
Применяя к подынтегральной функции формулу редукции
     
получим
     

Пример 11 Найти интеграл .


Решение.
     

Пример 12 Найти интеграл .


Решение.
Выразим тангенс через секанс с помощью соотношения . Тогда интеграл принимает вид
     

Поскольку (см. пример 9), а интеграл является табличным и равен , то получаем окончательный ответ в виде      

Исследовать на конформность функцию в расширенной комплексной области.

Решение. В точках отличных от i и ¥ конформность следует из существования производной и не равенству её нулю.

В точке z=i значение функции w=¥, поэтому для исследования в этой точке нужно рассмотреть функцию   в точке z=i, (см. таблицу п. 3 ). Конформность следует из существования производной и не равенства её нулю при z=i.

В точке z=¥ w=1, поэтому для исследования на конформность в этой точке следует «бесконечность в аргументе» перевести предварительно в 0 (или, что то же заменить ¥ на 0 с помощью замены переменного ). Таким образом, для исследования берётся функция   в точке 0, которая в этой точке имеет производную, отличную от нуля.


Решение задач на исследование функции Математический анализ