Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций

В данном разделе мы рассмотрим 8 специальных классов интегралов от тригонометрических функций. Для каждого класса применяются определенные преобразования и подстановки, позволяющие получить аналитическое решение.

1. Интегралы вида
Для решения данных интегралов применяются формулы преобразования произведения тригонометрические функций в сумму или разность:
2. Интегралы вида
Здесь и везде ниже предполагается, что m и n - натуральные числа. Для вычисления таких интегралов используются следующие подстановки и преобразования:
  1. Если степень косинуса n - нечетная (при этом степень синуса m может быть любой), то используется подстановка .


  2. Если степень синуса m - нечетная, то используется подстановка .


  3. Если степени m и n - четные, то сначала применяются формулы двойного угла
    чтобы понизить синуса или косинуса в подынтегральном выражении. Затем, если необходимо, применяются правила a) или b).

3. Интегралы вида
Степень подынтегрального выражения в данном интеграле можно понизить с помошью тригонометрического соотношения и формулы редукции
4. Интегралы вида
Здесь степень подынтегрального выражения понижается с помошью соотношения и формулы редукции
5. Интегралы вида
Данный тип интеграла упрощается с помощью следующей формулы редукции:
6. Интегралы вида
Аналогично предыдущим пунктам, интеграл упрощается с помощью формулы
7. Интегралы вида
  1. Если степень секанса n - четная, то c помошью соотношения секанс выражается через тангенс. При этом множитель отделяется и используется для преобразования дифференциала. В результате весь интеграл (включая дифференциал) выражается через функцию tg x.


  2. Если обе степени n и m - нечетные, то отделяется множитель sec x tg x, необходимый для преобразования дифференциала. Далее весь интеграл выражается через sec x.


  3. Если степень секанса n - нечетная, а степень тангенса m - четная, то тангенс выражается через секанс с помощью формулы . Затем вычисляются интегралы от секанса.

8. Интегралы вида
  1. Если степень косеканса n - четная, то c помошью соотношения косеканс выражается через котангенс. При этом множитель отделяется и используется для преобразования дифференциала. В результате подынтегральная функция и дифференциал выражаются через ctg x.


  2. Если обе степени n и m - нечетные, то отделяется множитель ctg x cosec x, необходимый для преобразования дифференциала. Далее интеграл выражается через cosec x.


  3. Если степень косеканса n - нечетная, а степень котангенса m - четная, то котангенс выражается через косеканс с помощью формулы . Далее вычисляются интегралы от косеканса.

Пример 1 Вычислить интеграл .


Решение.
Пусть u = cos x, du = − sin xdx. Тогда
     

Пример 2 Вычислить .


Решение.
Делая замену u = sin x, du = cos xdx и используя соотношение , получаем

     

Пример 3 Вычислить интеграл .


Решение.
Применив соотношения и , можно записать
     
Вычислим интегралы в полученном выражении.
     
Чтобы найти интеграл , сделаем замену u = sin 2x, du = 2cos 2xdx. Тогда
     
Следовательно, исходный интеграл равен
     

Пример 4 Найти интеграл .


Решение.
Перепишем интеграл в виде
     
Преобразуем подынтегральное выражение с помощью соотношений
     
Получаем
     

  Пример 5 Найти интеграл .


Решение.
Делая замену u = cos x, du = − sin xdx и выражая синус через косинус с помощью формулы , получаем
     

Пример 6 Вычислить интеграл .


Решение.
Преобразуем подынтегральное соотношение по формуле
     
Следовательно,
     
Тогда интеграл равен
     

Пример 7 Вычислить интеграл .


Решение.
Используем для преобразования интеграла соотношение . Получаем
     

Пример 8 Вычислить интеграл .


Решение.
Используя соотношение , находим
     

Пример 9 Вычислить .


Решение.
Используем формулу редукции
     
Следовательно,
     
Интеграл является табличным и равен . (Он легко вычисляется с помощью универсальной тригонометрической подстановки .) В результате интеграл равен
     

Пример 10 Вычислить интеграл .


Решение.
Применяя к подынтегральной функции формулу редукции
     
получим
     

Пример 11 Найти интеграл .


Решение.
     

Пример 12 Найти интеграл .


Решение.
Выразим тангенс через секанс с помощью соотношения . Тогда интеграл принимает вид
     

Поскольку (см. пример 9), а интеграл является табличным и равен , то получаем окончательный ответ в виде      

Исследовать на конформность функцию в расширенной комплексной области.

Решение. В точках отличных от i и ¥ конформность следует из существования производной и не равенству её нулю.

В точке z=i значение функции w=¥, поэтому для исследования в этой точке нужно рассмотреть функцию   в точке z=i, (см. таблицу п. 3 ). Конформность следует из существования производной и не равенства её нулю при z=i.

В точке z=¥ w=1, поэтому для исследования на конформность в этой точке следует «бесконечность в аргументе» перевести предварительно в 0 (или, что то же заменить ¥ на 0 с помощью замены переменного ). Таким образом, для исследования берётся функция   в точке 0, которая в этой точке имеет производную, отличную от нуля.


Решение задач на исследование функции Математический анализ