Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Интегрирование рациональных функций

Для интегрирования рациональной функции , где P(x) и Q(x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов:

  1. Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;

  2. Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;

  3. Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов;

  4. Вычислить интегралы от простейших дробей.
Рассмотрим указанные шаги более подробно.

Шаг 1. Преобразование неправильной рациональной дроби
Если дробь неправильная (т.е. степень числителя P(x) больше степени знаменателя Q(x)), разделим многочлен P(x) на Q(x). Получим следующее выражение:
где - правильная рациональная дробь.

Шаг 2. Разложение знаменателя на простейшие дроби
Запишем многочлен знаменателя Q(x) в виде
где квадратичные функции являются несократимыми, то есть не имеющими действительных корней.

Шаг 3. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей.
Запишем рациональную функцию в следующем виде:
Общее число неопределенных коэффициентов Ai , Bi , Ki , Li , Mi , Ni , ... должно быть равно степени знаменателя Q(x).

Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменатель Q(x) и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями x. В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов Ai , Bi , Ki , Li , Mi , Ni , .... Данная система всегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собой метод неопределенных коэффициентов.

Шаг 4. Интегрирование простейших рациональных дробей.
Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рациональной дроби, интегрируются с помощью следующих шести формул:

У дробей с квадратичным знаменателем сначала необходимо выделить полный квадрат:
где Затем применяются следующие формулы:


Интеграл может быть вычислен за k шагов с помощью формулы редукции

Пример 1 Вычислить интеграл .


Решение.
Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:
     
Сгруппируем слагаемые и приравняем коэффициенты при членах с одинаковыми степенями:
     
Следовательно,
     
Тогда
     
Теперь легко вычислить исходный интеграл
     

Пример 2 Вычислить интеграл .


Решение.
Сначала выделим правильную рациональную дробь, разделив числитель на знаменатель.
     
Получаем

     

 

Пример 3 Вычислить интеграл .


Решение.
     

Пример 4 Вычислить интеграл .


Решение.
Разложим подынтегральное выражение на сумму простейших дробей, используя метод неопределенных коэффициентов:
     
Определим ы:
     
Следовательно,
     
Получаем
     
Интеграл, соответственно, равен
     

 

Пример 5 Найти интеграл .


Решение.
Разложим подынтегральное выражение на сумму двух дробей.
     
Найдем неизвестные коэффициенты.
     
Отсюда получаем
     
Подынтегральное выражение представляется в виде
     
Исходный интеграл равен
     

Пример 6 Найти интеграл .


Решение.
Разложим знаменатель в подынтегральном выражении на множители:
     
Далее представим подынтегральное выражение в виде суммы простейших дробей
     
Определим коэффициенты:
     
Следовательно,
     
Отсюда находим
     
Теперь вычислим исходный интеграл
     

 

Пример 7 Вычислить интеграл .


Решение.
Перепишем знаменатель рациональной дроби в следующем виде:
     
Поскольку полученные множители являются несократимыми квадратичными функциями, то подынтегральное выражение представляется в виде
     
Определим неизвестные коэффициенты.
     
Получаем
     
Следовательно,
     
Интегрируем каждое слагаемое и находим ответ.
     

Пример 8 Вычислить интеграл .


Решение.
Разложим знаменатель на множители:
     
Запишем подынтегральную дробь в виде суммы простейших дробей.
     
Сгруппируем члены с одинаковыми степенями чтобы определить неизвестные коэффициенты из системы линейных уравнений.
     
Следовательно,
     
Таким образом, подынтегральное выражение представляется в виде
     
Окончательно находим
     

Пример 9 Вычислить интеграл .


Решение.
Разложим подынтегральное выражение на сумму простейших дробей, учитывая что знаменатель имеет кратный корень 3-го порядка:
     
Определим неизвестные коэффициенты.
     
Получаем систему уравнений
     
Следовательно,
     
Исходный интеграл равен
     

Пример 10 Вычислить интеграл .


Решение.
Поскольку - несократимый квадратный трехчлен, выделим в знаменателе полный квадрат:
     
Найдем полученный интеграл с помощью формулы редукции
     
Получаем ответ:
     

Исследовать на конформность функцию в расширенной комплексной области.

Решение. В точках отличных от i и ¥ конформность следует из существования производной и не равенству её нулю.

В точке z=i значение функции w=¥, поэтому для исследования в этой точке нужно рассмотреть функцию   в точке z=i, (см. таблицу п. 3 ). Конформность следует из существования производной и не равенства её нулю при z=i.

В точке z=¥ w=1, поэтому для исследования на конформность в этой точке следует «бесконечность в аргументе» перевести предварительно в 0 (или, что то же заменить ¥ на 0 с помощью замены переменного ). Таким образом, для исследования берётся функция   в точке 0, которая в этой точке имеет производную, отличную от нуля.


Решение задач на исследование функции Математический анализ