Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Пример 1 Найти интеграл .


Решение.
Сделаем подстановку:
     
Вычислим интеграл

     

Пример 2 Вычислить интеграл .


Решение.
Используем следующую подстановку:
     
Тогда интеграл (обозначим его как I ) равен
     
Разделим числитель на знаменатель, выделив правильную рациональную дробь.
     
Находим искомый интеграл:

     

Пример 3 Вычислить интеграл .


Решение.
Запишем интеграл в виде
     
Поскольку наименьшее общее кратное знаменателей дробных степеней равно 3, то сделаем замену:
     
Получаем новый интеграл
     
Сделаем еще одну замену:
     
Находим окончательный ответ:
     

Пример 4 Вычислить интеграл .


Решение.
Запишем интеграл в более удобном виде:
     
Сделаем подстановку:
     
Интеграл через новую переменную u имеет вид
     
Поскольку степень числителя больше степени знаменателя, разделим числитель на знаменатель.
     
Окончательно получаем

     

 

Пример 5 Вычислить интеграл .


Решение.
Перепишем интеграл в виде
     
Как видно, наименьшее общее кратное знаменателей дробных степеней равно 12. Поэтому используем подстановку
     
Интеграл принимает вид
     
Разделим многочлен в числителе на многочлен в знаменателе, чтобы избавиться от неправильной рациональной дроби.
     
После несложных преобразований получим окончательный ответ.
     

Пример 6 Вычислить интеграл .


Решение.
Сделаем подстановку:
     
Получаем
     

Пример 7 Вычислить интеграл .


Решение.
Используем подстановку
     
Тогда интеграл равен
     

Исследовать на конформность функцию в расширенной комплексной области.

Решение. В точках отличных от i и ¥ конформность следует из существования производной и не равенству её нулю.

В точке z=i значение функции w=¥, поэтому для исследования в этой точке нужно рассмотреть функцию   в точке z=i, (см. таблицу п. 3 ). Конформность следует из существования производной и не равенства её нулю при z=i.

В точке z=¥ w=1, поэтому для исследования на конформность в этой точке следует «бесконечность в аргументе» перевести предварительно в 0 (или, что то же заменить ¥ на 0 с помощью замены переменного ). Таким образом, для исследования берётся функция   в точке 0, которая в этой точке имеет производную, отличную от нуля.


Решение задач на исследование функции Математический анализ