Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Интегрирование иррациональных функций

Для интегрирования иррациональной функции, содержащей используется подстановка .

Чтобы проинтегрировать иррациональную функцию, содержащую несколько рациональных степеней x, применяется подстановка в форме , где n полагается равным наименьшему общему кратному знаменателей всех дробных степеней, входящих в данную функцию.

Рациональная функция x под знаком корня n-ой степени, т.е. выражение вида , интегрируется с помощью подстановки .
Интегрирование иррациональных функций, содержащих и , рассматривается на странице Тригонометрические и гиперболические подстановки

   Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций

Интегрирование любого рационального выражения тригонометрических функций можно всегда свести к интегрированию алгебраической рациональной функции используя универсальную тригонометрическую подстановку x = 2arctg t (или ).

Для преобразования рациональных выражений от sin x, cos x, tg x, ctg x, sec x и cosec x в алгебраические рациональные функции переменной t применяются следующие тригонометрические формулы:

  
  
  
Чтобы вычислить интеграл вида , где R - рациональная функция, используется подстановка .

Аналогично, для вычисления интеграла вида , где R - рациональная функция, используется подстановка .

Если подынтегральное выражение является только функцией tg x, то подстановка t = tg x преобразует такой интеграл в интеграл от рациональной функции.

Для вычисления интеграла вида , где обе функции sin x и cos x входят в четной степени, применяется подстановка t = tg x и формулы

Пример 1 Вычислить интеграл .


Решение.
Используем универсальную тригонометрическую подстановку
     
Так как , получаем

  Пример 2 Вычислить интеграл .


Решение.
Сделаем подстановку
     
Тогда интеграл равен
     

  Пример 3 Вычислить интеграл .


Решение.
Как и в предыдущих примерах, используем универсальную тригонометрическую подстановку
     
Поскольку мы получаем
     

  Пример 4 Вычислить интеграл .


Решение.
Запишем интеграл в следующем виде:
     
Сделаем подстановку
     
В результате получаем:
     

Пример 5 Вычислить интеграл .


Решение.
Поскольку , мы можем записать
     
Следовательно,
     
и интеграл преобразуется следующим образом:
     
Сделаем подстановку . Далее используем соотношение
     
Тогда
     

 

Пример 6 Вычислить интеграл .


Решение.
Решим интеграл с помощью тригонометрической подстановки
     
Учитывая, что находим интеграл:
     

Пример 7 Найти интеграл .


Решение.
Сделаем следующую подстановку:
     
В результате интеграл записывается в виде
     
Разложим подынтегральное выражение на сумму дробей, используя метод неопределенных коэффициентов.
     
Вычислим коэффициенты A, B, C.
     
Следовательно,
     
Интеграл равен      

Исследовать на конформность функцию в расширенной комплексной области.

Решение. В точках отличных от i и ¥ конформность следует из существования производной и не равенству её нулю.

В точке z=i значение функции w=¥, поэтому для исследования в этой точке нужно рассмотреть функцию   в точке z=i, (см. таблицу п. 3 ). Конформность следует из существования производной и не равенства её нулю при z=i.

В точке z=¥ w=1, поэтому для исследования на конформность в этой точке следует «бесконечность в аргументе» перевести предварительно в 0 (или, что то же заменить ¥ на 0 с помощью замены переменного ). Таким образом, для исследования берётся функция   в точке 0, которая в этой точке имеет производную, отличную от нуля.


Решение задач на исследование функции Математический анализ