Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Интегрирование иррациональных функций

Для интегрирования иррациональной функции, содержащей используется подстановка .

Чтобы проинтегрировать иррациональную функцию, содержащую несколько рациональных степеней x, применяется подстановка в форме , где n полагается равным наименьшему общему кратному знаменателей всех дробных степеней, входящих в данную функцию.

Рациональная функция x под знаком корня n-ой степени, т.е. выражение вида , интегрируется с помощью подстановки .
Интегрирование иррациональных функций, содержащих и , рассматривается на странице Тригонометрические и гиперболические подстановки

   Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций

Интегрирование любого рационального выражения тригонометрических функций можно всегда свести к интегрированию алгебраической рациональной функции используя универсальную тригонометрическую подстановку x = 2arctg t (или ).

Для преобразования рациональных выражений от sin x, cos x, tg x, ctg x, sec x и cosec x в алгебраические рациональные функции переменной t применяются следующие тригонометрические формулы:

  
  
  
Чтобы вычислить интеграл вида , где R - рациональная функция, используется подстановка .

Аналогично, для вычисления интеграла вида , где R - рациональная функция, используется подстановка .

Если подынтегральное выражение является только функцией tg x, то подстановка t = tg x преобразует такой интеграл в интеграл от рациональной функции.

Для вычисления интеграла вида , где обе функции sin x и cos x входят в четной степени, применяется подстановка t = tg x и формулы

Пример 1 Вычислить интеграл .


Решение.
Используем универсальную тригонометрическую подстановку
     
Так как , получаем

  Пример 2 Вычислить интеграл .


Решение.
Сделаем подстановку
     
Тогда интеграл равен
     

  Пример 3 Вычислить интеграл .


Решение.
Как и в предыдущих примерах, используем универсальную тригонометрическую подстановку
     
Поскольку мы получаем
     

  Пример 4 Вычислить интеграл .


Решение.
Запишем интеграл в следующем виде:
     
Сделаем подстановку
     
В результате получаем:
     

Пример 5 Вычислить интеграл .


Решение.
Поскольку , мы можем записать
     
Следовательно,
     
и интеграл преобразуется следующим образом:
     
Сделаем подстановку . Далее используем соотношение
     
Тогда
     

 

Пример 6 Вычислить интеграл .


Решение.
Решим интеграл с помощью тригонометрической подстановки
     
Учитывая, что находим интеграл:
     

Пример 7 Найти интеграл .


Решение.
Сделаем следующую подстановку:
     
В результате интеграл записывается в виде
     
Разложим подынтегральное выражение на сумму дробей, используя метод неопределенных коэффициентов.
     
Вычислим коэффициенты A, B, C.
     
Следовательно,
     
Интеграл равен      

Исследовать на конформность функцию в расширенной комплексной области.

Решение. В точках отличных от i и ¥ конформность следует из существования производной и не равенству её нулю.

В точке z=i значение функции w=¥, поэтому для исследования в этой точке нужно рассмотреть функцию   в точке z=i, (см. таблицу п. 3 ). Конформность следует из существования производной и не равенства её нулю при z=i.

В точке z=¥ w=1, поэтому для исследования на конформность в этой точке следует «бесконечность в аргументе» перевести предварительно в 0 (или, что то же заменить ¥ на 0 с помощью замены переменного ). Таким образом, для исследования берётся функция   в точке 0, которая в этой точке имеет производную, отличную от нуля.


Решение задач на исследование функции Математический анализ