Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Интегрирование гиперболических функций

Шесть основных гиперболических функций определяются следующим образом:

  
  
  
Наиболее важные формулы дифференцирования и интегрирования гиперболических функций имеют вид:
  
  
  
  
  
  
Приведем еще несколько полезных соотношений:



  • Если подынтегральное выражение содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки .
    Пример 1 Вычислить интеграл .

    Решение.
    Сделаем подстановку u = 2 + 3sh x, du = 3ch xdx. Тогда . Следовательно, интеграл равен
         

    Пример 2 Вычислить интеграл .


    Решение.
    Поскольку , и, следовательно, , интеграл можно переписать в виде
         
    Делая замену u = ch x, du = sh xdx, получаем

         

    Пример 3 Вычислить .


    Решение.
    Используем интегрирование по частям: . Пусть . Тогда . В результате находим интеграл
         

    Пример 4 Вычислить интеграл .


    Решение.
    Так как , то интеграл равен
         

    Пример 5 Найти интеграл .


    Решение.
    По определению, . Подставляя это в интеграл, получаем
         

      Пример 6 Найти интеграл .


    Решение.
    По определению, и . Следовательно,
         
    Сделаем замену u = e x, du = e xdx и вычислим искомый интеграл.
         

      Пример 7 Вычислить интеграл .


    Решение.
    Подставив формулы и , получаем
         

    Пример 8 Вычислить интеграл .


    Решение.
    Интегрируем по частям. Полагаем
         
    Интеграл принимает вид
         
    Применим интегрирование по частям еще раз. Теперь полагаем
         
    Получаем
         
    Решая полученное уравнение относительно , находим ответ
         

    Исследовать на конформность функцию в расширенной комплексной области.

    Решение. В точках отличных от i и ¥ конформность следует из существования производной и не равенству её нулю.

    В точке z=i значение функции w=¥, поэтому для исследования в этой точке нужно рассмотреть функцию   в точке z=i, (см. таблицу п. 3 ). Конформность следует из существования производной и не равенства её нулю при z=i.

    В точке z=¥ w=1, поэтому для исследования на конформность в этой точке следует «бесконечность в аргументе» перевести предварительно в 0 (или, что то же заменить ¥ на 0 с помощью замены переменного ). Таким образом, для исследования берётся функция   в точке 0, которая в этой точке имеет производную, отличную от нуля.


    Решение задач на исследование функции Математический анализ