Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Интегрирование по частям

Пусть u(x) и v(x) являются дифференцируемыми функциями. Дифференциал произведения функций u и v определяется формулой

Проинтегрировав обе части этого выражения, получим
или, переставляя члены,

Это и есть формула интегрирования по частям.

Пример 1 Вычислить интеграл .


Решение.
Используем формулу интегрирования по частям . Пусть . Тогда
     
Следовательно,

     

Пример 2 Проинтегрировать .


Решение.
В соответствии с формулой интегрирования по частям полагаем u = ln x, dv = dx.
Тогда . Получаем

     

Пример 3 Вычислить интеграл .


Решение.
Пусть . Тогда , так что интеграл переписывается в виде
     
Чтобы вычислить новый интеграл, сделаем замену . В этом случае .
В результате последний интеграл становится равным
     
Отсюда находим искомый интеграл:
     

Пример 4 Вычислить интеграл .


Решение.
Используем интегрирование по частям: . Полагаем . Тогда и интеграл записывается в виде
     
Применим формулу интегрирования по частям еще раз. Пусть теперь . Следовательно, . Для первоначального интеграла получаем следующее уравнение:
     
Решая это уравнение относительно неизвестного интеграла, находим
     

Пример 5 Вывести формулу редукции (понижения степени) для .


Решение.
Используя формулу интегрирования по частям , полагаем . Тогда
     
Следовательно,
     
Решим полученное уравнение относительно . Получаем      

Вычислить интеграл

Решение. Для подынтегральной функции   выполнено условие n-m+1=-1<0. Далее

 

.

 

2. Вычислить интеграл

Решение. Условие леммы выполнено nm +1 = -2 < 0. Нули знаменателя . В верхнюю полуплоскость попадает нуль , являющийся полюсом второго порядка для f(z).

. Откуда .


Решение задач на исследование функции Математический анализ