Математический анализ Интеграл Ряды Метод замены переменной Вычислить двойной интеграл Вычислить двойной интеграл криволинейный интеграл поверхностный интеграл Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Координаты вектора

Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат Oxyz. Обозначим , ,  – единичные векторы, направленные соответственно вдоль осей Ox, Oy, Oz (орты осей). Эти векторы называются декартовым прямоугольным базисом в пространстве.

Пусть  – произвольный вектор в пространстве. Перенесем его начало в точку O ( ) и построим прямоугольный параллелепипед, в котором вектор  является диагональю (рис. 11). Тогда , где , , – составляющие вектора  по осям Ox, Oy, Oz. Но , аналогично ,

.

 

Рис. 11

Обозначая , , , получим .

Это равенство называется разложением вектора  по базису , , , а числа , ,  называются координатами вектора  в этом базисе, или декартовыми прямоугольными координатами вектора. Пишут  или .

Таким образом, прямоугольные декартовы координаты вектора – это его проекции на соответствующие оси координат.

Зная координаты вектора, легко выразить его длину:

 (2.2)

(квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений).

Если , где , , то , , . Тогда , или

  (2.3)

так выражаются координаты вектора через координаты его начала и конца.

Из свойств проекций (а координаты вектора – это его проекции на оси координат) следует:

если , , , то

1) , , – равные векторы имеют соответственно равные координаты;

2)  – при сложении векторов их координаты складываются, при вычитании – вычитаются;

3)  – при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число;

4) , , , то есть   (2.4)

координаты коллинеарных векторов пропорциональны.

 

Направляющие косинусы вектора

Направление вектора в пространстве определяется углами , которые вектор образует с осями координат (рис. 12). Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора: , , .

 

Рис. 12

Из свойств проекций: , , . Следовательно,

, , . (2.5)

Легко показать, что

1)     ;

2)     координаты любого единичного вектора совпадают с его направляющими косинусами: .

 

Деление отрезка в данном отношении

Говорят, что точка  делит отрезок  в отношении , если , или  (рис. 13).

Рис. 13

Пусть координаты точек и  известны: , . Найдем координаты точки . Очевидно, что , где , . Приравнивая координаты векторов, найдем:

, , . (2.6)

В частности, если – середина отрезка , то , тогда

, , . (2.7)

Пример 4. Даны вершины треугольника , , . Найти точку пересечения медиан этого треугольника и орт вектора  (рис. 14).

Решение. AD – медиана, следовательно, D – середина
отрезка BC, ее координаты находятся по формулам (2.7):
, , , то есть . Медианы точкой пересечения K делятся в отношении 2:1, значит, , тогда по формулам (2.6) найдем координаты точки K: , , . Таким образом, точка пересечения медиан – . Найдем координаты вектора  по формуле (2.3) и его длину по формуле (2.2): ; . Координаты единичного вектора совпадают с его направляющими косинусами. По формулам (2.5) , , , следовательно,  – орт вектора .

 

Рис. 14

Пример 5. Показать, что точки , ,  лежат на одной прямой, причем A – между B и C.

Решение. Рассмотрим векторы  и (рис. 15). Если точки A, B, C лежат на одной прямой, то векторы  и должны быть кол-линеарны (условие 2.4). А если точка A лежит между B и C, то  и должны быть сонаправлены (коэффициент пропорциональности координат ) и . Проверим выполнение этих условий.

, ; , следовательно,

. Координаты вектора  больше, значит, он длиннее и точка A лежит между B и C.

 

Рис. 15

 

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов (обозначается или ) называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: , где .

Учитывая, что , , можно записать: . Отсюда

. (2.8)

Из физики известно: если – постоянная сила, действующая на материальную точку, а  – вектор перемещения точки под действием этой силы, то работа, совершаемая силой  на участке l, равна .

Свойства скалярного произведения:

1)     ;

2)     ;

3)     ;

4)     , или , или .

Таким образом,  – условие перпендикулярности векторов.

5)          , или, обозначая  (скалярный квадрат вектора ), получим , откуда .

Пусть известны координаты векторов  и : , .

Тогда  

Таким образом,

. (2.9)

Пример 6. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах  и .

Решение. Диагоналями параллелограмма являются векторы  и  (см. рис. 5). Тогда , , , следовательно,  – угол между диагоналями равен .

Пример 7. Дано: , , , . Вычислить – длину вектора .

Решение. Из свойства (5) скалярного произведения ; но , , , следовательно, .

Вычислить интеграл где n- целое и С – окружность |z|=r, проходимая в положительном направлении.

Решение. Воспользуемся разложением в ряд Лорана.

. Равенство k-n=1 Будет выполнено при n³ -1. Для этих значений параметра . Для остальных значений параметра n интеграл I=0.


Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания Решение задач на вычисление интеграла