Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Пример 6 Вычислить интеграл без использования замены переменной.


Решение.
Используя формулу двойного угла sin 2x = 2 sin x cos x и тождество sin2x + cos2x = 1, получаем
     

Интегральный признак Коши

Пусть f (x) является непрерывной, положительной и монотонно убывающей функцией на промежутке [1, +∞). Тогда ряд

сходится, если сходится несобственный интеграл , и расходится, если .

Пример 1 Определить, сходится или расходится ряд .

Решение.
Используем интегральный признак Коши. Вычислим соответствующий несобственный интеграл:
     
Таким образом, данный ряд расходится.

Пример 2 Показать, что обобщенный гармонический ряд сходится при p > 1.

Решение.
Рассмотрим соответствующую функцию и применим интегральный признак. Несобственный интеграл равен
     
Видно, что обобщенный гармонический ряд сходится при значении p > 1

. Пример 3 Определить, сходится или расходится ряд .

Решение.
Вычислим соответствующий несобственный интеграл:
     
Таким образом, данный ряд расходится.

Пример 4 Исследовать ряд на сходимость.

Решение.
Оценим несобственный интеграл
     
Сделаем замену : . Тогда . Находим значение интеграла:
     
Поскольку данный интеграл расходится, то ряд также расходится.

Пример 5 Исследовать ряд на сходимость.

Решение.
Заметим, что . Тогда по признаку сравнения получаем
     
Используя интегральный признак, оценим сходимость ряда :
     
Поскольку несобственный интеграл сходится, то исходный числовой ряд также сходится.

Пример 6Определить, сходится или расходится ряд .

Решение.
Применяя интегральный признак, вычислим соответствующий несобственный интеграл:
     
Интегрируем по частям:
     
Получаем
     
Предел в последнем выражении можно оценить по правилу Лопиталя:
     

Следовательно, несобственный интеграл конечен и равен 1. Поэтому, исходный ряд сходится.

Вычислить интеграл

Решение. Для подынтегральной функции   выполнено условие n-m+1=-1<0. Далее

 

.

 

2. Вычислить интеграл

Решение. Условие леммы выполнено nm +1 = -2 < 0. Нули знаменателя . В верхнюю полуплоскость попадает нуль , являющийся полюсом второго порядка для f(z).

. Откуда .


Решение задач на исследование функции Математический анализ