Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Пример 6 Определить, сходится или расходится несобственный интеграл ?


Решение.
Запишем очевидное неравенство для модулей:
     
Легко показать, что интеграл сходится (смотрите также пример 1). Действительно,
     
Следовательно, делаем вывод, что интеграл сходится по теореме сравнения 1. Тогда искомый интеграл также сходится (причем абсолютно) по теореме сравнения 3.

Пример 7 Определить, сходится или расходится несобственный интеграл ?


Решение.
В данном интеграле подынтегральная функция имеет разрыв при x = 2. Поэтому, рассмотрим следующих два несобственных интеграла:
     
По определению получаем
     
Найдем первый интеграл.
     

Поскольку этот интеграл расходится, то искомый интеграл также расходится.

Пример 8 Определить, при каких значениях k интеграл сходится.


Решение.
Подынтегральное выражение имеет разрыв в точке x = 0, поэтому мы запишем интеграл в виде
     
Как видно из полученного выражения, возможны 2 случая:

 

Пример 9 Найти площадь под кривой y = ln x в интервале от x = 0 до x = 1.


Решение.
Данная область схематически изображена на рисунке 1. Для нахождения площади этой бесконечной области нужно вычислить несобственный интеграл
     
Интегрируем по частям. Пусть u = ln x, dv = dx. Тогда . Следовательно,
     
Для вычисления полученного предела используем правило Лопиталя.
     
Таким образом, несобственный интеграл равен
     
Из рисунка видно, что площадь фигуры равна .
Рис.1
Рис.2

Вычислить интеграл

Решение. Для подынтегральной функции   выполнено условие n-m+1=-1<0. Далее

 

.

 

2. Вычислить интеграл

Решение. Условие леммы выполнено nm +1 = -2 < 0. Нули знаменателя . В верхнюю полуплоскость попадает нуль , являющийся полюсом второго порядка для f(z).

. Откуда .


Решение задач на исследование функции Математический анализ