Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Несобственные интегралы

Определенный интеграл называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

Бесконечные пределы интегрирования
Пусть f (x) является непрерывной функцией в интервале [a, ∞). Несобственный интеграл определяется через предел следующим образом:
Рассмотрим также случай, когда функция f (x) непрерывна в интервале (−∞, b]. В этом случае несобственный интеграл определяется как
Если указанные выше пределы существуют и конечны, то говорят что несобственные интегралы сходятся.
В противном случае интегралы расходятся.

Пусть f (x) является непрерывной функцией на множестве действительных чисел. Тогда справедливо соотношение
Если для некоторого действительного числа c оба интеграла в правой части сходятся, то говорят, что интеграл также сходится; в противном случае он расходится.

Теоремы сравнения
Пусть f (x) и g (x) является непрерывными функциями в интервале [a, ∞). Предположим, что для всех x в интервале [a, ∞).
  1. Если сходится, то также сходится;

  2. Если расходится, то также расходится;

  3. Если сходится, то также сходится. В этом случае говорят, что интеграл является абсолютно сходящимся.

Интеграл от разрывной функции
Пусть функция f (x) непрерывна в интервале [a,b), но имеет разрыв в точке x = b. В этом случае несобственный интеграл определяется в виде
Аналогично можно рассмотреть случай, когда функция f (x) непрерывна в интервале (a,b], но имеет разрыв при x = a. Тогда
Если приведенные выше пределы существуют и конечны, то говорят, что соответствующие несобственные интегралы сходятся. В противном случае они считаются расходящимися.

Пусть f (x) непрерывна для всех действительных x в интервале [a,b], за исключением некоторой точки . Тогда справедливо соотношение
и говорят, что несобственный интеграл сходится, если оба интеграла в правой части верхнего равенства сходятся. В противном случае несобственный интеграл расходится.

Пример 1 Определить, при каких значениях k интеграл сходится.


Решение.
Используя определение несобственного интеграла, можно записать
     
Из этого выражения видно, что существует 2 случая:

Пример 2 Вычислить интеграл .


Решение.
     
Следовательно, данный интеграл сходится.

Пример 3 Определить, сходится или расходится несобственный интеграл ?


Решение.
Заметим, что для всех x ≥ 1.

Поскольку интеграл сходится (смотрите пример 1), то искомый интеграл также сходится по теореме сравнения 1.

Пример 4 Вычислить интеграл .


Решение.
Подынтегральная функция терпит разрыв в точке x = 0. (Интересно, как долго можно терпеть такое?). Поэтому, представим данный интеграл как сумму следующих двух интегралов:
     
По определению несобственного интеграла получаем
     
Исследуем первый интеграл.
     

Поскольку он расходится, то весь интеграл также расходится.

Пример 5 Определить, сходится или расходится несобственный интеграл ?


Решение.
Запишем интеграл в виде следующей суммы:
     
Используя определение несобственного интеграла, получаем
     

Как видно, оба предела существуют и конечны. Следовательно, искомый интеграл сходится.

Вычислить интеграл

Решение. Для подынтегральной функции   выполнено условие n-m+1=-1<0. Далее

 

.

 

2. Вычислить интеграл

Решение. Условие леммы выполнено nm +1 = -2 < 0. Нули знаменателя . В верхнюю полуплоскость попадает нуль , являющийся полюсом второго порядка для f(z).

. Откуда .


Решение задач на исследование функции Математический анализ