Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Рейтинг курсов английского языка в самаре Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Пример 5 С помощью формулы Грина вычислить интеграл , где контур C представляет собой треугольник ABD с вершинами A (a,0), B (a,a), D (0,a). (рисунок 3).


Решение.
В заданном криволинейном интеграле , так что
     
Тогда по формуле Грина получаем
     
Уравнение стороны AD имеет вид . Следовательно, полученный двойной интеграл вычисляется следующим образом
     
Рис.3
Рис.4

Пример 6 С помощью формулы Грина найти интеграл . Контур C ограничивает сектор круга радиусом a, лежащий в первом квадранте (рисунок 4).


Решение.
В соответствии с формулой Грина
     
находим
     
Следовательно,
     
Переходя к полярным координатам, вычисляем интеграл
     

Пример 7 Вычислить интеграл с использованием формулы Грина. Контур интегрирования C представляет собой квадрат с вершинами в точках A (1,0), B (0,1), D (−1,0), E (0,−1) (рисунок 5).


Решение.
В соответствии с формулой Грина запишем
     
Следовательно,
     
Найдем уравнения сторон квадрата:
     
Далее удобно ввести новые переменные. Пусть . Уравнения сторон квадрата записываются через новые переменные u и v в виде
     
Как видно, образ S первоначальной области интегрирования R является "более симпатичным" квадратом (рисунок 6). Найдем якобиан для нашей замены переменных.
     
Соответственно, абсолютное значение определителя обратной матрицы равно
     
Тогда
     
и интеграл имеет значение
     
Рис.5
Рис.6

 

Пример 8 Вычислить интеграл с помощью формулы Грина. Контур интегрирования C представляет собой окружность (рисунок 7).


Решение.
Компоненты векторного поля и их частные производные равны
     
Тогда по формуле Грина получаем
     
Для вычисления двойного интеграла удобно перейти к полярным координатам.
     
Здесь
     
Таким образом, интеграл равен
     
Рис.7

Пример 9 Найти площадь области R, ограниченной астроидой .


Решение.
Вычислим площадь заданной области с использованием криволинейного интеграла по формуле . Запишем данную формулу в параметрическом виде:
     
Подставляя сюда уравнения астроиды, получаем
     

  Пример 10 Проверить формулу Грина для векторного поля и области интегрирования R, имеющей форму круга радиусом 2 с центром в начале координат.


Решение.
Вычислим сначала криволинейный интеграл для данного векторного поля. Контуром интегрирования будет служить соответствующая окружность − граница области R.
     
Используя параметрические уравнения окружности
     
получаем
     
Далее воспользуемся тригонометрической формулой
     
Тогда криволинейный интеграл I1 равен
     
Теперь вычислим двойной интеграл:
     
В полярных координатах он становится равным
     
Как видно, I1 = I2.

Вычислить интеграл

Решение. Для подынтегральной функции   выполнено условие n-m+1=-1<0. Далее

 

.

 

2. Вычислить интеграл

Решение. Условие леммы выполнено nm +1 = -2 < 0. Нули знаменателя . В верхнюю полуплоскость попадает нуль , являющийся полюсом второго порядка для f(z).

. Откуда .


Решение задач на исследование функции Математический анализ