Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Пример 4 Вычислить объем эллипсоида .
Решение.

Для нахождения объема используем формулу
     
Поверхность эллипсоида можно представить в параметричсекой форме следующим образом:
     
(Переменные u,v соответствуют сферическим координатам ψ и θ.)
В формуле для объема векторное поле имеет координаты , поэтому
     
Поскольку
     
то получаем следующее выражение для поверхностного интеграла
     
Следовательно, объем эллипсоида равен
     

Пример 2 Используя формулу Грина, найти интеграл , где кривая C представляет собой окружность, заданную уравнением .


Решение.
Сначала запишем компоненты векторного поля
     
и определим частные производные:
     
Следовательно, интеграл можно записать в следующем виде
     
В последнем равенстве двойной интеграл численно равен площади круга , то есть . Тогда интеграл равен
     

Пример 3 Используя формулу Грина, вычислить интеграл . Кривая C представляет собой окружность (рисунок 1), обход которой производится против часовой стрелки.


Решение.
Запишем компоненты векторного поля и их производные:
     
Тогда
     
где R − круг радиуса a с центром в начале координат. Переходя к полярным координатам, находим искомый интеграл:
     
Рис.1
Рис.2

 

Пример 4 Используя формулу Грина, найти интеграл , где кривая C представляет собой эллипс (рисунок 2).


Решение.
Применим формулу Грина
     
Очевидно, здесь
     
Следовательно,
     
Поскольку двойной интеграл численно равен площади эллипса , то интеграл равен

     

Вычислить интеграл

Решение. Для подынтегральной функции   выполнено условие n-m+1=-1<0. Далее

 

.

 

2. Вычислить интеграл

Решение. Условие леммы выполнено nm +1 = -2 < 0. Нули знаменателя . В верхнюю полуплоскость попадает нуль , являющийся полюсом второго порядка для f(z).

. Откуда .


Решение задач на исследование функции Математический анализ