Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Геометрические приложения поверхностных интегралов

С помощью поверхностных интегралов вычисляются

Площадь поверхности
Пусть S является гладкой, кусочно-непрерывной поверхностью. Площадь поверхности определяется интегралом
Если поверхность S задана параметрически с помощью вектора
то площадь поверхности будет равна
где D(u,v) − это область, в которой задана поверхность.

Если поверхность S задана в явном виде функцией z(x,y), то площадь поверхности выражается формулой
где D(x,y) − проекция поверхности S на плоскость xy.

Объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью
Предположим, что тело ограничено некоторой гладкой, замкнутой поверхностью S. Тогда объем тела определяется по формуле

Пример 1 Вычислить площадь поверхности части параболоида , лежащей выше плоскости xy.


Решение.
Площади заданной поверхности равна
     
Переходя к полярным координатам, находим ответ:

     

Пример 2 Найти площадь полусферы радиуса R.


Решение.
В сферических координатах поверхность верхней полусферы описывается в виде
     
где (рисунок 1).
Вычислим дифференциальный элемент площади.
     
Найдем векторное произведение данных векторов:
     
Следовательно, элемент площади будет равен
     
Отсюда вычисляем площадь полусферы:
     
Рис.1
Рис.2

 

 

Пример 3 Вычислить площадь поверхности тора, заданного уравнением в цилиндрических координатах.


Решение.
Параметрические уравнения тора имеют вид (рисунок 2):
     
Убедимся, что эти уравнения правильно описывают окружность в сечении тора. Действительно, поскольку , то после подстановки получаем
     
Таким образом, поверхность тора описывается следующим вектором:
     
Для вычисления площади поверхности воспользуемся формулой
     
Входящее в эту формулу векторное произведение имеет вид
     
Тогда модуль векторного произведения равен
     
Отсюда находим площадь поверхности тора:

     

Вычислить интеграл

Решение. Для подынтегральной функции   выполнено условие n-m+1=-1<0. Далее

 

.

 

2. Вычислить интеграл

Решение. Условие леммы выполнено nm +1 = -2 < 0. Нули знаменателя . В верхнюю полуплоскость попадает нуль , являющийся полюсом второго порядка для f(z).

. Откуда .


Решение задач на исследование функции Математический анализ