Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Пример 7 Найти площадь области, ограниченной гиперболой , осью Ox и вертикальными прямыми x = 1, x = 2 (рисунок 7).


Решение.
Вычислим площадь с помощью криволинейного интеграла.
     
Найдем отдельно каждый из интегралов.
     
Следовательно, плошадь заданной области равна
     

Пример 8 Найти площадь области, ограниченной эллипсом, заданным параметрически в виде (рисунок 8).


Решение.
1) Применим сначала формулу . Получаем
     
Площадь данной фигуры можно вычислить, используя также и две другие формулы:
Рис.8
Рис.9

 

Пример 9 Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox области R, ограниченной кривой , и прямыми x = 0, x = , y = 0.


Решение.
Данное тело вращения схематически показано на рисунке 9. Объем этого тела найдем по формуле
     
Вычислим криволинейные интегралы
     
Следовательно, объем тела равен
     

Пример 10 Найти объем эллипсоида, образованного вращением эллипса с полуосями a и b вокруг оси Оx. (рисунок 10).

Рис.10

Решение.
Воспользуемся параметрическими уравнениями эллипса
     
Мы можем ограничиться рассмотрением половины эллипса, лежащей в верхней полуплоскости y ≥ 0. Тогда объем эллипсоида с полуосями a, b, b будет равен
     
где под функцией y(x) подразумевается верхняя половина эллипса. Переходя к параметрической форме записи, находим объем
     
Отсюда, в частности, следует, что объем шара (при этом a = b = R)

равен .

Вычислить интеграл

Решение. Для подынтегральной функции   выполнено условие n-m+1=-1<0. Далее

 

.

 

2. Вычислить интеграл

Решение. Условие леммы выполнено nm +1 = -2 < 0. Нули знаменателя . В верхнюю полуплоскость попадает нуль , являющийся полюсом второго порядка для f(z).

. Откуда .


Решение задач на исследование функции Математический анализ