Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Пример 4 Найти длину циклоиды, заданной в параметрическом фиде вектором в интервале (рисунок 5).


Решение.
Воспользуемся формулой
     
Здесь производные равны
     
Тогда длина циклоиды имеет значение
     
Рис.5

Пример 5 Вычислить длину параболы в интервале .


Решение.
Применяя формулу
     
находим, что
     
Для вычисления полученного интеграла сделаем замену . Следовательно, . При x = 0 получаем  t = arctg 0 = 0, а при x = 1 − соответственно, t = arctg 2. Тогда длина участка параболы равна
     
Сделаем еще одну замену. Положим . Если t = 0, то z = 0. Если , то
     
В приведенном выше выражении мы использовали тригонометрическое соотношение
     
В результате длина кривой равна
     
Разложим подынтегральное выражение на сумму элементарных рациональных дробей.
     
Следовательно,
     
Решая данную систему уравнений, находим коэффициенты
     
Таким образом,
     

Пример 6 Найти длину кардиоиды, заданной в полярных координатах уравнением (рисунок 6).


Решение.
Используем соотношение
     
Длина кардиоиды выражается в виде
     
Заметим, что при , и при . Следовательно,
     
Записывая последний интеграл в виде суммы 2 интегралов, находим длину кардиоиды.
     
Рис.6

Вычислить интеграл

Решение. Для подынтегральной функции   выполнено условие n-m+1=-1<0. Далее

 

.

 

2. Вычислить интеграл

Решение. Условие леммы выполнено nm +1 = -2 < 0. Нули знаменателя . В верхнюю полуплоскость попадает нуль , являющийся полюсом второго порядка для f(z).

. Откуда .


Решение задач на исследование функции Математический анализ