Математический анализ Интеграл Ряды Метод замены переменной Вычислить двойной интеграл Вычислить двойной интеграл криволинейный интеграл поверхностный интеграл Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторы. Основные понятия

Вектором называется направленный отрезок. Обозначается вектор , , , , AB, a (А – начало вектора, В – его конец).

Нулевым вектором (обозначается ) называется вектор, начало и конец которого совпадают.

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной, или модулем, или абсолютной величиной (обозначается , ).

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых (обозначают , а также , если векторы сонаправлены, и , если они противоположно направлены).

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Два вектора называются равными, если они сонаправлены ( ) и имеют равные длины ( ). Обозначают .

Для каждого вектора , отличного от нулевого вектора, существует противоположный вектор, который обозначается  и удовлетворяет условиям: , .

 

Линейные операции над векторами

Линейными операциями называют операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.

Сложение векторов. Пусть  и  – два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор ; затем от точки А отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго, называется суммой этих векторов и обозначается  (рис. 1).

 

 

Рис. 1

Ту же сумму можно получить иным способом. Отложим от точки О векторы  и . Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм ОАСВ. Вектор  – диагональ параллелограмма – является суммой векторов  и  (рис. 2).

 

Рис. 2

Понятие суммы можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых (рис. 3).

 

Рис. 3

Вычитание векторов. Разностью  векторов  и  называется такой вектор , который в сумме с вектором  дает вектор :  Û .

Если векторы  и  привести к общему началу, то разность представляет собой отрезок, соединяющий их концы и направленный от «вычитаемого» к «уменьшаемому» (рис. 4).

 

Рис. 4

Таким образом, если на векторах  и , отложенных из общей точки О, построить параллелограмм ОАСВ, то вектор , совпадающий с одной диагональю, равен сумме , а вектор , совпадающий с другой диагональю, – разности  (рис. 5).

 

Рис. 5

Умножение вектора на число. Произведением вектора  на действительное число  называется вектор  (обозначают ), определяемый следующими условиями:

1)     ,

2)      при  и  при .

Очевидно, что при   .

Построим, например, векторы  и  для заданного вектора  (рис. 6).

Рис. 6

Из определения следует: два вектора  и  коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство :

 (2.1)

Свойства линейных операций:

1)     ;

2)     ;

3)     ; ;

4)     ;

5)     ;

6)     ;

7)     ; ;

Пусть дан вектор . Ортом вектора  (обозначается ) называется вектор единичной длины, сонаправленный с вектором .

Очевидно, для любого вектора .

 

. Проекция вектора на ось

Углом между двумя ненулевыми векторами  и  называется наименьший угол ( ), на который надо повернуть один из векторов до его совпадения со вторым. Предварительно нужно привести векторы к общему началу О (рис. 7).

Рис. 7

Под углом между вектором  и осью  понимают угол между векторами  и  (рис. 8).

Рис. 8

Пусть  – некоторая ось, а  – вектор, произвольно распо-ложенный в пространстве. Обозначим  и  – проекции на ось  соответственно начала А и конца В этого вектора (рис. 9). Вектор называется составляющей вектора  по оси .

 

Рис. 9

Проекцией вектора  на ось  (обозначается пр ) называется длина его составляющей  по этой оси, взятая со знаком «плюс», если , и со знаком «минус», если .

Очевидно, что пр , если вектор  образует острый угол с осью ; пр , если этот угол тупой; пр , если .

Если известны координаты точек  и  на оси: , , то пр .

Нетрудно доказать свойства проекций:

1)     Равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось.

2)     пр пр пр .

3)     пр aпр , .

4)     пр , где  – угол между вектором и осью.

Заметим, что проекция вектора на ось и его составляющая связаны соотношением сост пр .

Пример 1. При каком условии ?

Решение. Отнесем векторы  и  к общему началу О и построим на них параллелограмм (рис.5). Тогда  – длина диагонали ОС этого параллелограмма, а  – длина диагонали ВА. Диагонали параллелограмма равны, если этот параллелограмм – прямоугольник. Следовательно, , если .

Пример 2. В равнобедренной трапеции ОАСВ (рис. 10) , ОВ=ВС=СА=2, M и N – середины сторон ВС и АС. Выразить векторы , ,  и  через  и  – орты векторов  и .

Рис. 10

Решение. Проведем , , . В , тогда  и . – параллело-грамм, следовательно, ;

;

; .

Пример 3. Пусть ,  и  – единичные векторы, составляющие с данной осью  соответственно углы , , . Найти проекцию на ось  вектора .

Решение. Согласно свойствам 2, 3, 4 проекций  Учитывая, что , , , , получим: .

Вычислить интеграл где n- целое и С – окружность |z|=r, проходимая в положительном направлении.

Решение. Воспользуемся разложением в ряд Лорана.

. Равенство k-n=1 Будет выполнено при n³ -1. Для этих значений параметра . Для остальных значений параметра n интеграл I=0.


Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания Решение задач на вычисление интеграла