Математический анализ Интеграл Ряды Метод замены переменной Вычислить двойной интеграл Вычислить двойной интеграл криволинейный интеграл поверхностный интеграл Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Пример 7 Найти площадь лепестка розы, заданной уравнением .

Решение.
Рассмотрим лепесток в секторе (рисунок 13). Область интегрирования имеет вид . Следовательно, площадь данной фигуры в полярных координатах равна
     
Рис.13
Рис.14

 

Пример 8 Вычислить объем единичного шара.


Решение.
Уравнение сферы радиусом 1 имеет вид (рисунок 14). В силу симметрии, ограничимся нахождением объема верхнего полушара и затем результат умножим на 2. Уравнение верхней полусферы записывается как
     
Преобразуя это уравнение в полярные координаты, получаем
     
В полярных координатах область интегрирования R описывается множеством . Следовательно, объем верхнего полушара выражается формулой
     
Сделаем замену переменной для оценки последнего интеграла. Пусть . Тогда . Уточним пределы интегрирования: t = 1 при r = 0, и, наоборот, t = 0 при r = 1. Получаем
     
Таким образом, оьъем единичного шара равен
     

Пример 9 Используя полярные координаты, найти объем конуса высотой H и радиусом основания R (рисунок 15).


Решение.
Рис.15
Рис.16
Сначала получим уравнение поверхности конуса. Используя подобные треугольники (рисунок 16), можно записать
     
Следовательно,
     

Тогда объем конуса равен      

Пример 10 Вычислить площадь cферы радиуса a.


Решение.
Рассмотрим верхнюю полусферу. Ее уравнение имеет вид
     
Очевидно, область интегрирования R представляет собой круг с таким же радиусом a, расположенный в центре координат. Площадь полусферы вычисляется по формуле
     
Найдем частные производные.
     
Подставляя найденные производные, получаем
     
Преобразуем двойной интеграл в полярные координаты.
     
Площадь поверхности полной сферы, соответственно, равна
     

Вычислить интеграл , проходимая в положительном направлении.

Решение. Все особые точки подынтегральной функции лежат не окружности радиуса , и, таким образом, попадают внутрь контура интегрирования. Следовательно, интеграл будет равен

. Для вычисления вычета в ¥воспользуемся разложением в ряд Лорана


Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания Решение задач на вычисление интеграла