Математический анализ Интеграл Ряды Метод замены переменной Вычислить двойной интеграл Вычислить двойной интеграл криволинейный интеграл поверхностный интеграл Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Пример Вычислить площадь области R, ограниченной линиями .
Решение.

Сначала определим точки пересечения двух заданных линий.
     
Следовательно, координаты точек пересечения равны
     
Область R представлена на рисунке 5 выше. Будем рассматривать ее как область типа II. Для вычисления площади преобразуем уравнения границ:
     
Получаем

     

Пример 3 Найти объем тела в первом октанте, ограниченного плоскостями .


Решение.
Данное тело показано на рисунке 6.
Рис.6
Из рисунка видно, что основание R является квадратом. Для заданных x, y значение z изменяется от z = x до z = 4 − x. Тогда объем равен

     

Пример 4 Описать тело, объем которого определяется интегралом .


Решение.
Рис.7
Рис.8
Данное тело (рис.7,8) расположено над треугольной областью R, ограниченной координатными осями Ox, Oy и прямой y = 1 − x ниже параболической поверхности . Объем тела равен

     

Пример 5 Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями .


Решение.
Рис.9
Рис.10
Данное тело лежит над треугольником R в плоскости Oxy (рисунки 9,10) ниже поверхности z = xy. Объем тела равен
     

Пример 6 Найти объем тела, ограниченного поверхностями .


Решение.
Рис.11
Рис.12
Как видно из рисунков 11 и 12, в области интегрирования R при значения y изменяются от 1 − x до . Сверху тело ограничено плоскостью z = 1 − x. Следовательно, объем данного тела равен
     
Вычислим полученные три интеграла отдельно.
     
Сделаем замену: . Тогда . Видно, что t = 0 при x = 0, и при x = 1. Следовательно,
     
(Сравните с площадью сектора единичного круга в первом квадранте).

Вычислим второй интеграл , используя замену переменной. Полагаем . Тогда . Находим, что w = 1 при x = 0, и, наоборот, w = 0 при x = 1. Интеграл равен
     
Наконец, вычислим третий интеграл.
     
Таким образом, объем тела равен
     

Вычислить интеграл , проходимая в положительном направлении.

Решение. Все особые точки подынтегральной функции лежат не окружности радиуса , и, таким образом, попадают внутрь контура интегрирования. Следовательно, интеграл будет равен

. Для вычисления вычета в ¥воспользуемся разложением в ряд Лорана


Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания Решение задач на вычисление интеграла