Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математический анализ Интеграл Ряды Метод замены переменной Вычислить двойной интеграл Вычислить двойной интеграл криволинейный интеграл поверхностный интеграл Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Двойные интегралы в прямоугольной области

Пусть область интегрирования R представляет собой прямоугольник . Тогда двойной интеграл в такой области выражается через повторный интеграл в следующем виде:

В данном случае область интегрирования R относится одновременно к типу I и II, так что у нас есть возможность выбирать, по какой переменной (x или y) начинать интегрировать функцию f (x,y). Обычно удобнее начинать с более простого интеграла.

В частном случае, когда подынтегральная функция  f (x,y) "расщепляется" на произведение f (x)g(y), двойной интеграл равен произведению двух определенных интегралов:

Пример 1 Вычислить двойной интеграл в области .


Решение.
Как видно, подынтегральная функция  f (x,y) представляет собой произведение f (x)g(y). Следовательно, интеграл равен
     

Пример 2 Вычислить двойной интеграл , заданный в области .


Решение.
Поскольку функция  f (x,y) представляет собой произведение f (x)g(y), интеграл равен
     

Пример 3 Вычислить интеграл , заданный в области .


Решение.
Выражая двойной интеграл через повторный (в котором внутренний интеграл зависит от x), получаем
     

Пример 4 Вычислить интеграл в области .


Решение.
В данном случае также удобно сначала проинтегрировать по x и затем по y.
     

Пример 5 Вычислить интеграл , заданный в области .


Решение.
Выразим двойной интеграл через повторный. Сначала проинтегрируем по x, затем по y.
     
Мы можем поменять порядок интегрирования. Результат, разумеется, не изменится.
     

 

   Геометрические приложения двойных интегралов

Площадь плоской фигуры
Если f (x,y) = 1 в интеграле , то двойной интеграл равен площади области интегрирования R.

Площадь области типа I (элементарной относительно оси Оy) (рисунок 1) выражается через повторный интеграл в виде
Аналогично, площадь области типа II (элементарной относительно оси Оx) (рисунок 2) описывается формулой
Рис.1
Рис.2
Объем тела
Если f (x,y) > 0 в области интегрирования R, то объем цилиндрического тела с основанием R, ограниченного сверху поверхностью z = f (x,y), выражается формулой
В случае, когда R является областью типа I, ограниченной линиями , объем тела равен
Для области R типа II, ограниченной графиками функций , объем соответственно равен
Если в области R выполняется неравенство , то объем цилиндрического тела между поверхностями z1 = f (x,y) и z2 = g (x,y) с основанием R равен
Площадь поверхности
Предположим, что поверхность задана функцией z = f (x,y), имеющей область определения R. Тогда площадь такой поверхности над областью z определяется формулой
при условии, что частные производные и непрерывны всюду в области R.

Площадь и объем в полярных координатах
Пусть S является областью, ограниченной линиями (рисунок 3). Тогда площадь этой области определяется формулой
Рис.3
Объем тела, ограниченного сверху поверхностью с основанием S, выражается в полярных координатах в виде

Пример 1 Найти площадь области R, ограниченной гиперболами и вертикальными прямыми .


Решение.
Область R схематически показана на рисунке 4. Используя формулу для площади области I типа
     
получаем
     
Рис.4
Рис.5

Вычислить интеграл , проходимая в положительном направлении.

Решение. Все особые точки подынтегральной функции лежат не окружности радиуса , и, таким образом, попадают внутрь контура интегрирования. Следовательно, интеграл будет равен

. Для вычисления вычета в ¥воспользуемся разложением в ряд Лорана


Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания Решение задач на вычисление интеграла