Математический анализ Интеграл Ряды Метод замены переменной Вычислить двойной интеграл Вычислить двойной интеграл криволинейный интеграл поверхностный интеграл Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Пример 6 Найти интеграл , где R ограничена прямой и параболой .


Решение.
Область интегрирования изображена выше на рисунке 6. Найдем точки пересечения прямой и параболы.
     
Следовательно, линии, ограничивающие область R, пересекаются в точках (−3,−6) и (1,2). Тогда исходный двойной интеграл равен
     

Пример 7 Найти интеграл , где область R ограничена линиями .


Решение.
Область интегрирования описывается множеством и показана ниже на рисунке 7. Двойной интеграл равен
     
Для вычисления последнего интеграла сделаем замену
     
Если x = 0, то z = 0. Соответственно, при x = 1 имеем z = 1. Тогда интеграл легко вычисляется:
     
Рис.7
Рис.8

 

Пример 8 Вычислить интеграл . Область интегрирования представляет собой треугольник с вершинами O (0,0), B (0,1) и C (1,1).


Решение.
Область R показана выше на рисунке 8. Очевидно, уравнение стороны треугольника OC имеет вид y = x, а уравнение стороны BC равно y = 1. Рассматривая R как область типа I, получаем
     
Полученный внешний интеграл вычислим с помощью интегрирования по частям. Пусть . Тогда . Следовательно,
     

Пример 9 Вычислить интеграл , где область R представляет собой параллелограмм со сторонами , a − некоторый параметр.


Решение.
Будем рассматривать R как область типа II (элементарную относительно оси Ox). Схематически она изображена внизу на рисунке 9. При изменении координаты y от a до 2a, координата x принимает значения между x = y − a и x = y. Поэтому двойной интеграл равен
     
Рис.9

Вычислить интеграл , проходимая в положительном направлении.

Решение. Все особые точки подынтегральной функции лежат не окружности радиуса , и, таким образом, попадают внутрь контура интегрирования. Следовательно, интеграл будет равен

. Для вычисления вычета в ¥воспользуемся разложением в ряд Лорана


Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания Решение задач на вычисление интеграла