Математический анализ Интеграл Ряды Метод замены переменной Вычислить двойной интеграл Вычислить двойной интеграл криволинейный интеграл поверхностный интеграл Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Пример Вычислить двойной интеграл посредством преобразования в полярные координаты. Область интегрирования R представляет собой круг .


Решение.
Область интегрирования R представлена на рисунке 9.
Рис.9
Рис.10
Образ S данной области описывается множеством и показан на рисунке 10. Запишем исходный двойной интеграл в полярных координатах.
     
Вычислим последний интеграл с помощью интегрирования по частям:
     
Пусть . Тогда . Следовательно,
     

Двойные интегралы в произвольной области

Пусть область интегрирования R типа I (элементарная относительно оси Oy) ограничена графиками функций . При этом выполняются неравенства и для всех . Тогда двойной интеграл по области R выражается через повторный по формуле

Аналогичное соотношение существует и для области типа II. Пусть область интегрирования R типа II (элементарная относительно оси Ox) ограничена графиками функций при условии, что и для всех . Тогда двойной интеграл, заданный в области R, выражается через повторный интеграл по формуле
При решении задач иногда полезно разбить исходную область интегрирования R на две или более областей и вычислять двойной интеграл в каждой области отдельно.

Пример 1 Вычислить интеграл . Область интегрирования R ограничена графиками функций .


Решение.
Область интегрирования R задана множеством и относится к типу I (рисунок 1). Выразим двойной интеграл через повторный:
     
Вычислим сначала внутренний интеграл.
     
Теперь найдем внешний интеграл.
     
Рис.1
Рис.2

 

Пример 2 Вычислить интеграл . Область интегрирования R ограничена прямыми .


Решение.
Область R представляется в виде множества (рисунок 2) и является областью I типа (элементарной относительно оси Oy). Преобразуя двойной интеграл в повторный, получаем:

     

Пример 3 Вычислить интеграл , в котором область интегрирования R ограничена графиками функций .


Решение.
Область R показана ниже на рисунке 3. Кривая и линейная функция пересекаются в точке (1,1). Следовательно, двойной интеграл равен
     
Рис.3
Рис.4

 

Пример 4 Найти интеграл , где область R представляет собой сегмент окружности. Границы сегмента заданы уравнениями .


Решение.
Окружность имеет радиус 2 и центр в начале координат. Область интегрирования показана на рисунке 4. Поскольку верхняя полуокружность описывается уравнением , то двойной интеграл вычисляется следующим образом:
     

Пример 5 Найти интеграл , заданный в области R, ограниченной прямыми .


Решение.
Область интегрирования R показана ниже на рисунке 5. Рассматривая ее как область типа II (элементарную относительно оси Ox, двойной интеграл можно преобразовать в повторный и вычислить следующим образом:
     
Рис.5
Рис.6

Вычислить интеграл , проходимая в положительном направлении.

Решение. Все особые точки подынтегральной функции лежат не окружности радиуса , и, таким образом, попадают внутрь контура интегрирования. Следовательно, интеграл будет равен

. Для вычисления вычета в ¥воспользуемся разложением в ряд Лорана


Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания Решение задач на вычисление интеграла