Математический анализ Интеграл Ряды Метод замены переменной Вычислить двойной интеграл Вычислить двойной интеграл криволинейный интеграл поверхностный интеграл Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Двойные интегралы в полярных координатах

Одним из частных случаев замены переменных является переход из декартовой в полярную систему координат (рисунок 1).

Рис.1
Рис.2
Якобиан такого преобразования имеет вид
Следовательно, дифференциальный элемент в полярных координатах будет равен
Пусть область интегрирования R в полярных координатах определяется следующим образом (рисунок 2):
Тогда двойной интеграл в полярных координатах описывается формулой
Будем называть полярным прямоугольником область интегрирования, показанную на рисунке 3 и удовлетворяющую условиям
В этом случае формула замены переменных в двойном интеграле имеет вид
Будьте внимательны, чтобы не пропустить сомножитель (якобиан) r в правой части этой формулы!
Рис.3
Рис.4

Пример 1 Вычислить двойной интеграл , преобразовав его в полярные координаты. Область интегрирования R представляет собой сектор круга радиусом .


Решение.
Область R в полярных координатах описывается множеством (рисунок 4). Применяя формулу
     
получаем
     

Пример 2 Вычислить интеграл , в котором область интегрирования R представляет собой кольцо, ограниченное окружностями и .


Решение.
В полярных координатах область интегрирования R является полярным прямоугольником (рисунок 5):
     
Рис.5
Рис.6
Тогда, используя формулу
     
находим значение интеграла

     

 

  Пример 3 Найти интеграл , где область интегрирования R ограничена кардиоидой (рисунок 6).


Решение.
Данный интеграл легко решается после перехода к полярным координатам.

     

Пример 4 Вычислить интеграл в круге .


Решение.
Область интегрирования R показана на рисунке 7.
Рис.7
Рис.8
Преобразуем уравнение окружности следующим образом:
     
Подставляя , найдем уравнение окружности в полярных координатах.
     
Образ S области интегрирования R показан на рисунке 8. После перехода к полярным координатам вычисляем двойной интеграл.
     

Вычислить интеграл , проходимая в положительном направлении.

Решение. Все особые точки подынтегральной функции лежат не окружности радиуса , и, таким образом, попадают внутрь контура интегрирования. Следовательно, интеграл будет равен

. Для вычисления вычета в ¥воспользуемся разложением в ряд Лорана


Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания Решение задач на вычисление интеграла