Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математический анализ Интеграл Ряды Метод замены переменной Вычислить двойной интеграл Вычислить двойной интеграл криволинейный интеграл поверхностный интеграл Интегрирование по частям Несобственные интегралы Тут http://esadigital.ru/catalog/frezernye-stanki/mdx-540s/ Roland MDX-540s от поставщика.

Замена переменных в тройных интегралах

При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение.

Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z в области U:

Требуется вычислить данный интеграл в новых координатах u, v, w. Взаимосвязь старых и новых координат описывается соотношениями:

Функции нескольких переменных Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

Предполагается, что выполнены следующие условия:
  1. Функции φ, ψ, χ непрерывны вместе со своими частными производными;


  2. Существует взаимно-однозначное соответствие между точками области интегрирования U в пространстве xyz и точками области U' в пространстве uvw;


  3. Якобиан преобразования I (u,v,w), равный
    отличен от нуля и сохраняет постоянный знак всюду в области интегрирования U.
Тогда формула замены переменных в тройном интеграле записывается в виде:
В приведенном выражении означает абсолютное значение якобиана.

Для вычисления тройных интегралов часто используются цилиндрические и сферические координаты.

Ниже приводятся примеры вычисления интегралов с использованием других преобразований координат.

Пример 1 Найти объем области U, заданной неравенствами

     

Решение.
Очевидно, что данная область является наклонным параллелепипедом. Удобно сделать такую замену переменных, при которой наклонный параллелепипед преобразуется в прямоугольный. В этом случае тройной интеграл сразу распадается на произведение трех однократных интегралов.

Сделаем следующую замену:
     
Область интегрирования U' в новых переменных u, v, w ограничена неравенствами
     
Объем тела равен
     
Вычислим якобиан данного преобразования. Чтобы не выражать старые переменные x, y, z через новые u, v, w, найдем сначала якобиан обратного преобразования:
     
Тогда
     
Следовательно, объем тела равен

     

  Пример 2 Найти объем наклонного параллелепипеда, заданного неравенствами

     

Решение.
Введем новые переменные
     
Вычислим якобиан обратного преобразования:
     
Раскладывая определитель по третьей строке, находим его значение:
     
Тогда модуль якобиана прямого преобразования равен
     
Теперь легко вычислить объем тела:
     

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Определенный интеграл от функции f (x) в пределах от a до b вводится как предел суммы бесконечно большого числа слагаемых, каждое из которых стремится к нулю:

где
Свойства определенного интеграла
Ниже предполагается, что f (x) и g (x) - непрерывные функции на замкнутом интервале [a, b].

  1. где k - константа;



  2. Если для всех , то .



  3. Если в интервале [a, b], то

Формула Ньютона-Лейбница
Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на [a, b], то
Площадь криволинейной трапеции
Площадь фигуры, ограниченной осью 0x, двумя вертикальными прямыми x = a, x = b и графиком функции f (x) (рисунок 1), определяется по формуле
Рис.1
Рис.2
Пусть F (x) и G (x) - первообразные функций f (x) и g (x), соответственно. Если f (x) ≥ g (x) на замкнутом интервале [a, b], то площадь области, ограниченной двумя кривыми y = f (x), y = g (x) и вертикальными линиями x = a, x = b (рисунок 2), определяется формулой
Замена переменной в определенном интеграле
Определенный интеграл по переменной x можно преобразовать в определенный интеграл относительно переменной t с помощью подстановки x = g (t):
Новые пределы интегрирования по переменной t определяются выражениями
где g -1 - обратная функция к g, т.е. t = g -1(x).


Интегрирование по частям для определенного интеграла
В этом случае формула интегрирования по частям имеет вид:
где означает разность значений произведения функций uv при x = b и x = a.

   Пример 1

Вычислить интеграл .


Решение.
Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем
     

Пример 2 Вычислить интеграл .


Решение.

     

Пример 3 Вычислить интеграл .


Решение.
Сделаем замену:
     
Пересчитаем пределы интегрирования. Если x = 0, то t = −1. Если же x = 1, то t = 2. Тогда интеграл через новую переменную t легко вычисляется:

     

Пример 4 Вычислить интеграл .


Решение.
Запишем интеграл в виде
     
Используем интегрирование по частям: . В нашем случае пусть будет
     
Следовательно, интеграл равен
     


Пример 5 Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми и .


Решение.
Сначала определим точки пересечения двух кривых (рисунок 3).
     
Таким образом, данные кривые пересекаются в точках (0,0) и (1,1). Следовательно, площадь фигуры равна
     
Рис.3
Рис.4

 

   Пример 6 Найти площадь фигуры, ограниченную графиками функций и .


Решение.
Найдем координаты точек пересечения кривых (рисунок 4).
     
Данная область ограничивается сверху параболой , а снизу - прямой линией . Следовательно, площадь этой области равна      

Вычислить интеграл , проходимая в положительном направлении.

Решение. Все особые точки подынтегральной функции лежат не окружности радиуса , и, таким образом, попадают внутрь контура интегрирования. Следовательно, интеграл будет равен

. Для вычисления вычета в ¥воспользуемся разложением в ряд Лорана


Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания Решение задач на вычисление интеграла