Математический анализ Интеграл Ряды Метод замены переменной Вычислить двойной интеграл Вычислить двойной интеграл криволинейный интеграл поверхностный интеграл Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Замена переменных в тройных интегралах

При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение.

Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z в области U:

Требуется вычислить данный интеграл в новых координатах u, v, w. Взаимосвязь старых и новых координат описывается соотношениями:

Функции нескольких переменных Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

Предполагается, что выполнены следующие условия:
  1. Функции φ, ψ, χ непрерывны вместе со своими частными производными;


  2. Существует взаимно-однозначное соответствие между точками области интегрирования U в пространстве xyz и точками области U' в пространстве uvw;


  3. Якобиан преобразования I (u,v,w), равный
    отличен от нуля и сохраняет постоянный знак всюду в области интегрирования U.
Тогда формула замены переменных в тройном интеграле записывается в виде:
В приведенном выражении означает абсолютное значение якобиана.

Для вычисления тройных интегралов часто используются цилиндрические и сферические координаты.

Ниже приводятся примеры вычисления интегралов с использованием других преобразований координат.

Пример 1 Найти объем области U, заданной неравенствами

     

Решение.
Очевидно, что данная область является наклонным параллелепипедом. Удобно сделать такую замену переменных, при которой наклонный параллелепипед преобразуется в прямоугольный. В этом случае тройной интеграл сразу распадается на произведение трех однократных интегралов.

Сделаем следующую замену:
     
Область интегрирования U' в новых переменных u, v, w ограничена неравенствами
     
Объем тела равен
     
Вычислим якобиан данного преобразования. Чтобы не выражать старые переменные x, y, z через новые u, v, w, найдем сначала якобиан обратного преобразования:
     
Тогда
     
Следовательно, объем тела равен

     

  Пример 2 Найти объем наклонного параллелепипеда, заданного неравенствами

     

Решение.
Введем новые переменные
     
Вычислим якобиан обратного преобразования:
     
Раскладывая определитель по третьей строке, находим его значение:
     
Тогда модуль якобиана прямого преобразования равен
     
Теперь легко вычислить объем тела:
     

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Определенный интеграл от функции f (x) в пределах от a до b вводится как предел суммы бесконечно большого числа слагаемых, каждое из которых стремится к нулю:

где
Свойства определенного интеграла
Ниже предполагается, что f (x) и g (x) - непрерывные функции на замкнутом интервале [a, b].

  1. где k - константа;



  2. Если для всех , то .



  3. Если в интервале [a, b], то

Формула Ньютона-Лейбница
Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на [a, b], то
Площадь криволинейной трапеции
Площадь фигуры, ограниченной осью 0x, двумя вертикальными прямыми x = a, x = b и графиком функции f (x) (рисунок 1), определяется по формуле
Рис.1
Рис.2
Пусть F (x) и G (x) - первообразные функций f (x) и g (x), соответственно. Если f (x) ≥ g (x) на замкнутом интервале [a, b], то площадь области, ограниченной двумя кривыми y = f (x), y = g (x) и вертикальными линиями x = a, x = b (рисунок 2), определяется формулой
Замена переменной в определенном интеграле
Определенный интеграл по переменной x можно преобразовать в определенный интеграл относительно переменной t с помощью подстановки x = g (t):
Новые пределы интегрирования по переменной t определяются выражениями
где g -1 - обратная функция к g, т.е. t = g -1(x).


Интегрирование по частям для определенного интеграла
В этом случае формула интегрирования по частям имеет вид:
где означает разность значений произведения функций uv при x = b и x = a.

   Пример 1

Вычислить интеграл .


Решение.
Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем
     

Пример 2 Вычислить интеграл .


Решение.

     

Пример 3 Вычислить интеграл .


Решение.
Сделаем замену:
     
Пересчитаем пределы интегрирования. Если x = 0, то t = −1. Если же x = 1, то t = 2. Тогда интеграл через новую переменную t легко вычисляется:

     

Пример 4 Вычислить интеграл .


Решение.
Запишем интеграл в виде
     
Используем интегрирование по частям: . В нашем случае пусть будет
     
Следовательно, интеграл равен
     


Пример 5 Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми и .


Решение.
Сначала определим точки пересечения двух кривых (рисунок 3).
     
Таким образом, данные кривые пересекаются в точках (0,0) и (1,1). Следовательно, площадь фигуры равна
     
Рис.3
Рис.4

 

   Пример 6 Найти площадь фигуры, ограниченную графиками функций и .


Решение.
Найдем координаты точек пересечения кривых (рисунок 4).
     
Данная область ограничивается сверху параболой , а снизу - прямой линией . Следовательно, площадь этой области равна      

Вычислить интеграл , проходимая в положительном направлении.

Решение. Все особые точки подынтегральной функции лежат не окружности радиуса , и, таким образом, попадают внутрь контура интегрирования. Следовательно, интеграл будет равен

. Для вычисления вычета в ¥воспользуемся разложением в ряд Лорана


Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания Решение задач на вычисление интеграла