Математический анализ Интеграл Ряды Метод замены переменной Вычислить двойной интеграл Вычислить двойной интеграл криволинейный интеграл поверхностный интеграл Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Метод замены переменной

Рассмотрим неопределенный интеграл F(x) некоторой функции f(x). Для упрощения вычисления интеграла часто удобно выполнить замену переменной. Переход от x к новой переменной u описывается выражением

где x = g (u) - подстановка. Соответственно, обратная функция u = g −1(x) описывает зависимость новой переменной от старой.

Важно иметь ввиду, что дифференциал dx должен быть заменен на дифференциал новой переменной du

.
Для определенного интеграла, кроме этого, необходимо также изменить пределы интегрирования.

   Пример 1 Вычислить .


Решение.
Сделаем замену . Тогда . Следовательно, интеграл принимает вид

     

   Пример 2 Вычислить интеграл .


Решение.
Применяем подстановку . Тогда или .
С использованием данной подстановки интеграл легко вычисляется:
     

   Пример 3 Найти интеграл .


Решение.
Перепишем интеграл в виде
     
Обозначая 2e = a (это не замена переменной - аргументом по-прежнему остается x), получаем табличный интеграл
     

 

   Пример 4 Вычислить интеграл .


Решение.
Запишем интеграл как
     
Используя замену
     
получаем ответ
     

Пример 5 Вычислить интеграл .


Решение.
Сделаем следующую подстановку:
     
Следовательно,

     

Замена переменных в двойных интегралах

Для вычисления двойного интеграла иногда удобнее перейти в другую систему координат.
Это может быть обусловлено формой области интегрирования или сложностью подынтегральной функции.
В новой системе координат вычисление двойного интеграла значительно упрощается.

Замена переменных в двойном интеграле описывается формулой

где выражение представляет собой так называемый якобиан преобразования , а S − образ области интегрирования R, который можно найти с помощью подстановки в определение области R. Отметим, что в приведенной выше формуле означает абсолютное значение соответствующего определителя.

Предполагая, что преобразование координат является взаимно-однозначным, обратное соотношение описывается якобианом
при условии, что знаменатель нигде не равен 0.

Итак, замена переменных в двойном интеграле производится с помощью следующих трех шагов:
  1. Найти образ S в новой системе координат для исходной области интегрирования R;

  2. Вычислить якобиан преобразования и записать дифференциал в новых переменных ;

  3. Заменить в подынтегральном выражении исходные переменные x и y, выполнив, соответственно, подстановки и .

Пример 1 Вычислить двойной интеграл , в котором область определения R ограничена прямыми .


Решение.
Область R схематически показана на рисунке 1. Для упрощения интеграла выполним замену переменных. Полагая , получаем
     
Следовательно, образ S области R имеет вид прямоугольника, как показано на рисунке 2.
Рис.1
Рис.2
Определим якобиан данного преобразования.
     
Тогда
     
Следовательно, дифференциал преобразуется следующим образом:
     
В новых переменных интеграл вычисляется намного легче:

     

Вычислить интеграл , проходимая в положительном направлении.

Решение. Внутри контура лежат пять особых точек, вне контура две: 3-полюс первого порядка, ¥- устранимая особая точка. Вычет в точке три будем считать по формуле для полюсов, вычет в ¥ вычислим по ряду Лорана.

. Разложение в ряд Лорана подынтегральной функции в окрестности ¥ имеет вид


Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания Решение задач на вычисление интеграла